6.3. Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8).

Отриману різницеву схему (СЛАР) можна розв’язувати різними методами (як прямими, так і ітераційними).

Розглянемо ітераційний метод з усередненням Лібмана.

З формул (6.7) отримаємо рівняння:

(6.9)

Це означає, що значення у вузлі обчислюється як середнє арифметичне значення в чотирьох сусідніх вузлах (рис. 6.2).

Згідно даного методу виберемо деяке початкове наближення , наприклад,

_{або використовуючи принцип максимуму,}

(6.10)

тобто як середнє арифметичне значення межових значень.

Використовуючи ітераційний метод, отримаємо наступну ітераційну формулу:

(6.11)

де - номер ітерації.

Доведено, що цей ітераційний процес збігається до точного розв’язку незалежно від початкового наближення (з області G), тобто

Цей чисельний розв’язок – стійкий. Швидкість збіжності даного методу є величина . Ітераційний процес збігається швидше, якщо ми використаємо ітераційний метод Гаусса-Зейделя:

(6.12)

При чисельних розрахунках на комп’ютері зручно вести розрахунки (з метою подальшого покращення швидкості збіжності процесу), по формулах (метод послідовної верхньої релаксації):

(6.13)

тут - так званий релаксаційний параметр

(6.14)

- найбільше по модулю власне значення матриці Якобі (спектральний радіус), який для прямокутної області має вид:

. (6.15)

6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле.

1. Задану область G покрити квадратною сіткою з кроком h.

2. Обчислити значення функції у межових вузлах сітки.

3. Обчислити початкові наближення наприклад:

_{або як середнє арифметичне у межових вузлах (по принципу максимуму)}

4. Обчислити послідовні наближення в кожному внутрішньому вузлі сітки, користуючись формулою (6.11) або (6.12).

5. Обчислення по формулі (6.11) чи (6.12) вести до тих пір, поки не буде виконуватись задана точність між двома сусідніми ітераціями:

6. Результати обчислень зручно записати в таблицю:

Таблиця 2.

K				...				...
0				...				...
1				...				...
	...	...	...	...	...	...	...	...

Розрахунок на калькуляторі вручну дає змогу “відчути” чисельний метод. Однак, із збільшенням кількості внутрішніх вузлів різницевої сітки об’єм обчислень різко зростає. Постає потреба в чисельному рахунку з допомогою ЕОМ. В зв’язку з цим, подаємо алгоритм обчислення у вигляді наступної блок-схеми (рис. 6.4).

Приклад1. Розрахунок стаціонарного розподілу температури в плоскій пластині.

Знайти розподіл температури у внутрішніх точках прямокутної пластини довжиною і шириною нижня і верхня сторони якої підтримуються при сталих температурах:

,

а на бічних сторонах і температура змінюється по лінійному закону:

Розрахунок проведемо в ручну з допомогою калькулятора згідно алгоритму 6.4 з точністю .

Крок сітки дорівнює . Температура у вузлах сітки нижньої сторони дорівнює , увузлах верхньої сторони : . Знаходимо темпера-туру у вузлах бічних сторін:

.

В кутових точках температуру знаходити немає потреби. Обчислюємо початкове наближення температур у внутрішніх вузлах (при цьому користуємось принципом симетрії):

Далі продовжуючи перерахунок температур по (6.12), отримаємо:

к
0	77,5	77,5	77,5	112,5	112,5	112,5
1	60	60	55,625	125,625	124,531	127,539
2	58,906	57,266	58,701	128,359	128,291	129,248
3	58,906	58,975	58,556	129,299	129,381	129,734
4	59,568	59,626	59,840	129,737	129,774	129,904
5	59,841	59,864	59,942	129,904	129,918	129,965

В останній стрічці таблиці отримали шуканий розподіл температур із точністю . Інтуїтивно ясно, і це видно з таблиці, що в наслідок лінійного розподілу температур на межах пластини, температура у внутрішніх її точках стабілізується до граничних. Отже, ізотермами температур служать відрізки прямих .