6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу.

Розв’язок задач проілюструємо на прикладі розв’язку краєвої задачі для рівнянь Лапласа і Пуасона.

6.1. Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)

Н

Рис. 6.1 Сіткова область для неперервної області в площині хОу.

ехай в площині xOy задана область з межею Г. Провівши вцій площині дві сім’ї прямих

ми таким чином введемо в ній різницеву сітку з кроками .

В результаті покриття області цією сіткою ми отримаємо сіткову область.

Будемо говорити, що область G покрита сіткою. Точки перетину цих прямих називають вузлами сітки. Вузли, які належать області G, називаються внутрішніми,, які межі Г – межовими (граничними, контурними) решта – зовнішніми. Вузли називаються сусідніми, якщо віддаль між ними по осі Ox рівна , або по осі Oy - . Вузол області називається внутрішнім для області , якщо всі чотири його сусіди належать області , в противному випадку він називається граничним. Нехай - дискретна сіткова область внутрішніх вузлів, а - область граничних вузлів області на рис. 6.1 внутрішні вузли позначені “*”,а граничні “”.

В методі скінченних різниць (сіток) область G неперервної зміни аргументів x,y замінюється дискретною (сітковою) областю , а замкнута область сітковою областю

_.

_{Значення шуканої функції}

_{у вузлах сітки будемо позначати так:}

.

Користуючись скінченною стрічкою Тейлора (“обірвавши” ряд Тейлора для функції U на деякому його члені), апроксимуємо частинні похідні функції їх різницевими відношеннями:

_(6.1)

Це – так звані правосторонні різницеві відношення для частинних похідних першого порядку. Лівосторонні різницеві відношення мають вид:

_(6.2)

З використанням центральних різниць похідні першого порядку апроксимуються так:

_(6.3)

Очевидно, що точність заміни похідних першого порядку даними різницевими відношеннями має перший порядок, тобто .

Аналогічно, для частинних похідних другого порядку отримуємо такі різницеві відношення:

_(6.4)

_{Заміна цих похідних має другий порядок точності, тобто порядок виду:}

.

6.2. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона

Всі викладки в даному пункті будемо проводити на прикладі рівняння Пуассона, оскільки при рівності правої його частини нулю отримаємо аналогічні результати для рівняння Лапласа.

Нехай в площині задана зв’язна область обмежена контуром .Нехай задана неперервна функція на контурі . Потрібно знайти наближений розв’язок рівняння Пуассона:

, (6.5)

який задовольняє граничним умовам

(6.6)

С

Рис. 6.2 Прямокутна область розв’язування задачі Діріхле.

формульована задача, як було відмічено вище, називається задачею Діріхле (першою крайовою задачею) для рівняння Пуассона.

Нехай область являє собою для простоти прямокутник:

(Рис. 6.2)

Покриємо його, наприклад, квадратною сіткою з кроком

Виберемо п’ятиточковий шаблон “хрест” і отримаємо різницеву схему задачі Діріхле на такому шаблоні. Замінимо частинні похідні в рівнянні (6.5) їх різницевими відношеннями (6.4).

Тоді диференціальне рівняння (6.5) в кожному внутрішньому вузлі сітки заміняємо системою різницевих рівнянь.

Отже, отримаємо таку систему різницевих рівнянь з точністю :

(6.7)

Граничні умови (5.6) замінюються такими:

(6.8)

Систему різницевих рівнянь (6.7) і граничні різницеві умови (6.8) називають різницевою апроксимацією чи різницевою схемою крайової задачі (6.5), (6.6). Вона являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з _{невідомими.}

_{Доведено [12 б], що система (6.7), (6.8) має єдиний розв’язок. Також доведено, що для розв’язку задачі Діріхле справедлива оцінка}

_,

де С – константа, яка не залежить від кроку , а - розв’язок різницевої схеми (6,7), (6,8). Це означає, що дана різницева схема збігається з швидкістю