- •Особливості курсу
- •Етапи розв’язку прикладної задачі на еом
- •1. Класифікація рівнянь в частинних похідних.
- •2. Основні типи рівнянь математичної фізики.
- •3. Постановки крайових задач для основних рівнянь математичної фізики еліптичного та параболічного типів.
- •3.1 Канонічні рівняння еліптичного типу – рівняння Лапласа та Пуассона.
- •3.2. Канонічні рівняння параболічного типу – рівняння теплопровідності, конвективної дифузії
- •3.2.1. Рівняння теплопровідності
- •3.2.2. Рівняння конвективної дифузії мігруючих речовин в деякому пористому середовищі (наприклад, водорозчинних речовин в ґрунті) має вид:
- •3.3. Крайові умови та їх види
- •3.3.1 Задання початкової умови (для рівнянь параболічного типу – теплопровідності та дифузії)
- •3.3.2 Задання граничних умов.
- •3.4.Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу
- •3.5. Постановка крайових задач для рівнянь параболічного типу
- •4. Методи розв’язування задач для рівнянь в частинних похідних
- •5. Суть методу скінчених різниць (сіток). Елементарні відомості з теорії різницевих схем
- •5.1. Ідея методу скінчених різниць (сіток)
- •5.2. Елементарні поняття з теорії різницевих схем
- •6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу.
- •6.1. Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)
- •6.2. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона
- •6.3. Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8).
- •6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле.
- •Лабораторна робота №1.
- •Порядок виконання роботи.
- •Контрольні запитання.
- •Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки.
- •7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності.
- •7.1 Явна різницева схема
- •7.1.1 Алгоритм ручного рахунку
- •7.2 Неявна різницева схема.
- •7.3 Лабораторна робота №2
- •Порядок виконання роботи.
- •Контрольні запитання.
- •8. Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності
- •8.1 Деякі позначення
- •8.2 Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності
- •8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами
- •8.4.Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності.
- •9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні
- •9.2 Монотонні рс для звичайного рівняння другого порядку, що містить перші похідні
- •9.3 Монотонна різницева схема для параболічного рівняння
- •10. Інтегро-інтерполяційний метод побудови рс.
- •10.1 Вступ. Методи побудови рс
- •10.2 Приклади побудови рс інтегро-інтерполяційним методом.
- •11. Різницеві схеми для рівнянь гіперболічного типу.
- •Різницева схема для рівняння коливання
- •1. Постановка задачі.
- •2. Різницева апроксимація задачі (1)-(3)
- •13. Економічні методи розв’язання крайових задач математичної фізики.
- •13.1 Економічні методи розв’язання першої крайової задачі для двовимірного рівняння теплопровідності.
- •Стійкість поперечно-поздовжньої рс
- •14. Загальні відомості з теорії стійкості рс.
- •1. Канонічний вигляд двохшарових рс.
- •2. Теорема про стійкість по початкових даних
- •Сумарна апроксимація
- •Локальна одновимірна схема Салмарського
- •1. Вступ
- •2. Основна концепція мсе
- •Переваги і недоліки мсе
- •Математичні основи методу мсе
- •Кусково-визначені базисні функції і мсе.
- •Поняття скінченого елемента.
- •V. Питання гарантованого рівня знань
5.2. Елементарні поняття з теорії різницевих схем
Перехід від математичної моделі неперервної диференціальної задачі до відповідної їй дискретної моделі та її чисельної реалізації останньої на ЕОМ супроводиться виникненням цілого ряду похибок:
а) похибки апроксимації диференціального рівняння або системи різницевим;
б) похибки апроксимації крайових умов;
в) похибки, зумовленої наближеним розв'язуванням системи відповідних різницевих рівнянь (чисельний алгоритм розв'язування відповідної різницевої схеми);
г) похибки округлень даної ЕОМ.
Якщо підставити точний розв'язок U деякої храмової задачі в її дискретний аналог (різницеву схему), то цей розв'язок, взагалі кажучи, не буде задовільняти цим скінченно - різницевим співвідношенням. Виникає так звана нев'язка (похибка апроксимації) як для самого диференціального рівняння (чи рівнянь), так і для додаткових (крайових) умов задачі. Близькість різницевої схеми до вихідної задачі якраз визначається по величині цієї нев'язки. Кажуть, що різницева схема апроксимує крайову задачу (диференціальну), якщо величини цих нев'язок прямують до нуля в деякій вибраній нормі при подрібненні сітки (h0); апроксимація має к -тий порядок, у випадку рівності нев'язок О (hk ), де О(hk) =Аhk, А - деяка стала. Отже, властивість апроксимації означає близькість різницевого оператора до диференціального. Різницеву схему, яка апроксимує крайову задачу для диференціального рівняння в частинних похідних, називають ще узгодженою.
Однак, з цього ще не випливає близькість розв'язків диференціальної крайової задачі і її скінченне різницевого аналогу (різницевої схеми).
Результатом дискретизації задачі, як відмічалось, є система різницевих (алгебраїчних) рівнянь. Різницева схема називається стійкою, якщо розв'язок системи різницевих рівнянь неперервно залежить від вхідних даних і ця залежність рівномірна відносно кроку (кроків) сітки h . Іншими словами, схема є стійкою, якщо малим змінам її параметрів відповідають малі зміни її розв'язків
Слід відмітити, що властивість стійкості різницевої схеми є її внутрішньою властивістю, яка не залежить від того, чи апроксимує ця схема яку-небудь крайову задачу, чи ні. Перевірити умову апроксимації (узгодженості) різницевої схеми неважко, бо часто вона виковується автоматично, тобто випливає із використаного методу побудови різницевої схеми. Стійкість — властивість більш тонка , і іноді не так просто її довести.
Різницева схема називається коректною, якщо її розв'язок: 1) існує;
2) єдиний при будь-яких вхідних даних;
3) схема стійка.
Основним питанням теорії різницевих схем є питання про їх збіжність.
Під збіжністю розуміють прямування розв'язку різницевої схеми до точного розв'язку вихідної задачі при подрібненні сітки.
Тобто кажуть, що різницевий розв’язок збігається до точного розв'язку диференціальної задачі, якщо їх різниця прямує до нуля в деякій нормі при прямуванні кроків сітки до нуля.
Коротко кажучи, збіжність означав близькість різницевого розв'язку до істинного розв'язку вихідної задачі.
При цьому виникає питання про швидкість збіжності різницевої схеми.
Кажуть, що різницева схема збігається з швидкістю О(hl ), якщо різниця міх її розв'язком і точним розв'язком вихідної задачі є величина порядку О(hl ).
Доведено, що для того, щоб різницева схема була збіжною, тобто її розв'язок збігався до істинного, необхідно і достатньо, щоб вона апроксимувала вихідну задачу і була стійкою.
Коротко кажуть: "апроксимація і стійкість забезпечують збіжність".
Слід відмітити, що теорія різницевих схем (як результат чисельного розв'язування крайових задач методом скінчених різниць) найбільш повно розвинута в роботах вітчизняних математиків: А.А.Самарського, С.К.Годунова, М.М.Яненко, їх учнів та ін.
С.К.Годуновим та його учнями розвинена теорія консервативних різницевих схем тобто таких схем, для яких виконуються різницеві аналоги інтегральних законів збереження, наслідкам яких є основні рівняння математичної фізики.
В основному склалося три основні способи побудови РС на заданому шаблоні :
1.Метод різницевої апроксимації (той, що ми розлядали до сих пір) ;
2.Метод невизначених коефіцієнтів;
3.Інтегро-інтерпаляційний метод (метод балансу);
1. Метод різницевої апроксимації полягає в тому, що кожна похідна, що входить в диференціальне рівняння і крайові умови змінюється певним різницевим виразом (включаючи лише вузли шаблону). Саме так були отримані всі розглянуті нами вище різницеві схеми. Цей метод досить простий і додаткових пояснень не потребує.
Метод різницевої апроксимації дозволяє легко складати РС першого чи другого порядку апроксимації на прямокутній сітці для рівнянь з неперервними і достатньо гладкими коефіцієнтами. Однак цей метод важко чи неможливо застосувати в більш складних випадках , а саме для рівнянь з розривними коефіцієнтами, на прямокутних сітках , для рівнянь високого порядку , на нерівномірних сітках і т. д.