4. Методи розв’язування задач для рівнянь в частинних похідних

Існують різні класифікації методів розв’язування диференціальних рівнянь в частинних похідних. Згідно однієї з них можна виділити наступні методи: класичні (точні), наближені і чисельні.

Класичні методи (знайомі з курсу вищої математики) дають можливість отримати розв’язок у вигляді формул шляхом аналітичного перетворення і інтегрування функцій (квадратурне інтегрування). Однак, такі методи далеко не завжди застосовні, а якщо і застосовні, то нерідко приводять до досить громіздких виразів, які втрачають практичну цінність. Вказані методи застосовують, в основному для розв’язування лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних і, як правило, для канонічних областей.

На практиці частіше всього застосовують наближені та чисельні методи.

З наближених методів виділяють аналітичні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді аналітичного виразу.

Часто ці методи ґрунтуються на спрощенні заданих рівнянь так, щоб більш просте рівняння можна було розв’язати класичним методом (наприклад, методи лінеаризації, малого параметра (збурень) і т.д.).

При цьому виникає питання про застосовність отриманих результатів. Оскільки відбувається підміна заданого рівняння іншим –більш простим.

Часом шуканий розв’язок намагаються представити у вигляді деякої комбінації відомих функцій, а потім шукають степінь достовірності такої заміни.

Чисельні методи – наближений розв’язок дають у вигляді таблиці. Ці методи не дозволяють отримати загальний розв’язок, а лише дають можливість знаходити потрібний частковий розв’язок задачі в деяких точках заданої області. Чисельні методи вданий час в зв’язку з інтенсивним застосуванням ЕОМ отримали дуже широкий розвиток. Деякі чисельні методи розроблені спеціально для застосування на ЕОМ. Вони, як правило, зводяться до розгляду систем алгебраїчних рівнянь розв’язування яких дають таблицю значень шуканої функції у вибраних точках області. Чисельні методи застосовують до широкого класу задач для рівнянь в частинних похідних.

Перелічимо конкретні методи, які відносяться до перелічених вище груп методів :

1. Метод розділення змінних (метод Фур’є).

2. Метод інтегральних перетворень.

3. Метод перетворення координат, залежної змінної.

4. Метод функції Гріна.

5. Метод інтегральних рівнянь.

6. Варіаційні методи.

7. Групові методи.

8. Асимптотичні методи.

9. Апроксимаційні методи.

10.Метод статистичних випробувань (Монте-Карло). 11.Чисельні методи:

а) метод скінчених різниць;

б) метод скінчених елементів (МСЕ);

в) метод граничних елементів (МГЕ);

Іноді виділяють ще чисельно - аналітичні методи. До таких методів належить метод Р - аналітичних перетворень (сумарних представлень), роз­роблений Г.М.Положієм та його учнями.

5. Суть методу скінчених різниць (сіток). Елементарні відомості з теорії різницевих схем

5.1. Ідея методу скінчених різниць (сіток)

Метод сіток або метод скінченних різниць є одним з найбільш поши­рених методів чисельного розв'язування крайових задач для рівнянь ма­тематичної фізики. Ідея методу належить І.Ейлеру. Суть його полягає в слідуючому. Область неперервної зміни аргументів шуканої функції зада­ної крайової задачі заміняють дискретною (як правило скінченною) мно­жиною точок. Ці точки називають вузлами. Множина вузлів утворює так звану різницеву сітку. Пошук невідомої функції неперервних аргументів зводять до пошуку деякої сіткової функції дискретних аргументів, за­даних на утвореній різницевій сітці. Для цього початкове диференціаль­не рівняння (чи їх систему) апроксимують (заміняють), тобто представ­ляють у вузлах сітки системою (чи системами) алгебраїчних рівнянь, кількість яких дорівнює кількості вузлів сітки, а невідомими є значення сіткової функції дискретних аргументів. Крайові умови (початкові і гра­ничні) заміняються різницевими крайовими умовами для сіткової функції. Кожне алгебраїчне рівняння для відповідного вузла різницевої сітки от­римується із заданого диференціального рівняння чи додаткових умов (крайових умов) заміною в них значень похідних чи диференціалів їх економічно-різницевим аналогами в усьому вузлі. Ці різницеві аналога отримуються:

• на основі означення похідних чи диференціалів а бо ж на основі формули Тейлора;

• заміною інтегралів скінченними сумами;

• заміною функцій многочленами і т.д.

Так отримане алгебраїчне рівняння називають різницевим , а повну систему отриманих різницевих рівнянь - різницевою схемою або різницевою апроксимацією. Множину (чи конфігурацію) вузлів, вибрану для отримання різницевої схеми, називають шаблоном схеми. Процес отримання різницевої схеми з неперервної диференціальної постановки задачі називають дискре­тизацією задачі. Заміну (апроксимацію, представлення) диференціальної задачі її дискретним аналогом - різницевою схемою, найчастіше проводять одним з двох способів:

а) безпосередньою заміною похідних їх різницевим відношеннями;

б) методом невизначених коефіцієнтів апроксимації диференціальних опера­торів (метод Рейнбаха), який дозволяє , крім прямокутних (зокрема, квадратних), використовувати і косокутні сітки, а також різні групи навколишніх вузлів (різні шаблони) при апроксимації диференціального рівняння.

Важливого значення заслуговує апроксимація граничних умов задачі у випадку криволінійного контуру даної області, коли використання стандартного шаблону не представляється можливим, що часто може приводити до значних технічних труднощів практичної реалізації того чи іншого методу.

Іноді використовують просте знесення значень функції та межі об­ласті на внутрішні вузли сітки, що найближче прилягають до неї. Часто, крім простого знесення, використовують інтерполяційні методи першого та другого порядку. Отриману в результаті апроксимації систему алгебраїчних рівнянь - різницеву схему - розв'язують тими чи іншими чисельними мето­дами. Найчастіше - це ітераційні методи, метод прогонки і т.п.