3.4.Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу
Із сказаного вище робимо висновок про те, що всяку крайову задачу можна представити у наступній наглядній формі:
Продемонструємо постановки крайових задач, які можуть ставитись для рівняння Лапласа.
1. Перша крайова задача (задача Діріхле):
(3.15)
Потрібно
знайти двічі неперервно диференційовану
функцію
відповідно по
і
в області
,
неперервну в замкнутій області
,
яка задовольняє рівняння Лапласа в
області
і приймає задані значення на її межі
.
2. Друга крайова задача (задача Неймана):
(3.16)
Потрібно знайти двічі неперервно диференційовану функцію в обл. , неперервну в замкнутій області , яка задовольняє рівняння Лапласа в області , на межі якої задана похідна по нормалі до границі області цієї функції.
3. Третя крайова задача:
(3.17)
де
,
такі, що
.
Потрібно
знайти двічі неперервно диференційовану
функцію
,
яка задовольняє рівняння Лапласа в
області
,
неперервну в замкнутій області
,
на межі якої задана гранична умова
третього роду.
4. Змішана задача теорії потенціалу (Діріхле-Неймана)
Р
озглядається
крайова задача для рівняння Лапласа в
області
,
на межі якої задаються почергово крайові
умови першого та другого роду (рис. 3.3);
(3.18)
В такій постановці задається, наприклад, задача плоскої встановленої фільтрації підземних вод.
Продемонстровані вище постановки крайових задач називають класичними. Існують і інші постановки задач (в тому числі і некласичні).
Початкова крайова задача для рівняння Лапласа, як показав Адамар (див., наприклад, [2 б]), є некоректною.
Аналогічні крайові задачі ставляться для рівняння Пуассона та багатьох інших еліптичних рівнянь.
3.5. Постановка крайових задач для рівнянь параболічного типу
Дані постановки проілюструємо на прикладі одномірного рівняння теплопровідності (3.5).
1. Задача Коші:
(3.19)
Потрібно
знайти функцію
,
двічі неперервно диференційовану по
і диференційовану по
,
яка задовольняє на всій осі
рівнянню теплопровідності і при
початковій умові
.
2. Змішана крайова задача:
(3.20)
Потрібно
знайти функцію
,
двічі неперервно диференційовану по
і диференційовану по
,
яка задовольняє даному диференціальному
рівнянню, початковій умові (при
),
а на кінцях відрізка
приймає задані значення -
і
.
Це приклад змішаної крайової задачі з граничними умовами першого роду. Можуть ставитись змішані крайові задачі з граничними умовами інших родів.
Як приклад розглянемо ще постановку змішаної крайової задачі з умовами спряження. Вона моделює процес поширення тепла в стержні, що складається з двох (чи більше) різних за теплофізичними властивостями матеріалів (рис. 3,4).
(3.21)
Тут
-
теплопровідності матеріалів;
- точка ідеального контакту матеріалів.
Дві останні умови якраз і задають
додаткові умови в точці контакту.
Слід
відмітити, що для рівнянь параболічного
типу можуть ставитись також задачі без
початкових умов (див. [13
б]).
Це означає, що фізичні процеси, змодельовані
даними крайовими задачами, почалися
дуже давно (при
)
і продовжуються надто довго (
).