3.2.2. Рівняння конвективної дифузії мігруючих речовин в деякому пористому середовищі (наприклад, водорозчинних речовин в ґрунті) має вид:

, (3.6)

де - концентрація розчинених речовин в точці з координатами в момент часу ;

- вектор швидкості потоку (наприклад, фільтраційного); - коефіцієнт конвективної дифузії; - пористість середовища, - оператор Лапласа.

В різних математичних моделях коефіцієнт може означати:

1. коефіцієнт молекулярної дифузії, якщо (тобто при відсутності конвекції);

2. коефіцієнт конвективної дифузії при ;

3. коефіцієнт турбулентної дифузії – при наявності в потоці пульсацій (наприклад, в річці).

В одномірному випадку рівняння конвективної дифузії прийме вигляд:

, (3.7)

а рівняння молекулярної дифузії

(3.8)

Рівняння теплопровідності та дифузії за виглядом повністю аналогічні.

3.3. Крайові умови та їх види

Для всіх фізичних задач характерним є наявність меж розглядуваної області , в якій вивчається той чи інший процес. Ці межі можуть бути як скінченні, так і простягатись в нескінченність. Постільки та чи інша математична модель повинна по можливості адекватно описувати розглядуване фізичне явище в даному виділеному середовищі, вона мусить включати, крім самого диференціального рівняння (чи системи рівнянь) опису процесу, ще й додаткові умови. Ці додаткові умови дістали назву крайових умов. Під крайовими умовами розуміють сукупність граничних і початкових умов. Граничні умови задають режим фізичного процесу на межі розглядуваної області , а початкові – накладають умови на функцію та її похідні до -го порядку по часу в деякий початковий момент часу .

3.3.1 Задання початкової умови (для рівнянь параболічного типу – теплопровідності та дифузії)

Оскільки в розглядуваних вище рівняннях параболічного типу входить лише перша похідна по часу, тобто , то згідно теоретичних досліджень слід задавати умови тільки на похідну нульового порядку, тобто саму функцію:

, (3.9)

де - біжуча точка області .

3.3.2 Задання граничних умов.

Г раничні умови визначають режим фізичного процесу на межі області і можуть задаватись для всіх типів рівнянь в частинних похідних (якщо це потрібно).

В загальному випадку область задання рівняння можна представити як циліндр виду

де - фізична область – область зміни координат точок, що визначені процесом;

- проміжок часу, на якому вивчається процес (рис.3.1).

Типи граничних умов.

При описі граничних умов будемо розглядати їх математичну та фізичну інтерпретації:

а) граничні умови І-го роду

(3.10)

Тут - біжуча точка контору .

Математично:	Фізично:
На межі області задана функція	На межі області відома температура (концентрація, потенціал тощо).

б) граничні умови ІІ-го роду:

(3.11)

Тут - нормаль до межі - значення потоку.

Математично:	Фізично:
На межі області задана похідна функції	На межі області задано тепловий потік (потік концентрації і т.п.).

в) граничні умови 3 – го роду:

(3.12)

, причому .

Математично:	Фізично:
На межі області задана лінійна комбінація функцій та її похідної.	На межі області задано теплообмін з оточуючим середовищем, наприклад, по закону Ньютона-Ріхмана , де - коефіцієнт теплообміну, - температура оточуючого середовища.

г) граничні умови IV-го роду – це так звані умови спряження. Вони наявні для областей, що складаються не менше як з двох під областей, які характеризуються різними фізичними властивостями (рис.3.2). Наприклад, при дослідженні процесу теплопровідності розглядаються два стержні з різних матеріалів, які мають різні теплофізичні властивості (теплоємність, густину, коефіцієнт теплопровідності). В загальному можна сказати, що під області характеризуються різними коефіцієнтами провідності.

При цьому межа контакту двох середовищ може розглядатись як:

а) ідеальною (рівність функцій і потоків);

б) неідеальною (скачок функцій і рівність потоків);

в) що має джерела і т.п. (рівність функцій і нерівність потоків).

Розглянемо, наприклад, умови спряження для ідеального та неідеального контактів:

а) ідеальний контакт

, (3.13)

б) у випадку неідеального контакту граничні умови повинні бути записані з врахуванням термічного опору контакту

(3.14)

Відмітимо, що також є інші види граничних умов, а саме граничні умови, які використовують при розв’язуванні задач з фазовими переходами. Такі задачі виникають при вивченні процесів кристалізації, промерзання, плавлення, горіння та інших і називають задачами Стефана.