3. Постановки крайових задач для основних рівнянь математичної фізики еліптичного та параболічного типів.

В цьому параграфі ми зупинимось на постановках крайових задач лише для рівнянь еліптичного та параболічного типів ( рівняння гіперболічного типу, незважаючи на їх важливість, розглядати в даних вказівках не будемо в силу обмеженості розмірів вказівок; цікаві різноманітні задачі, пов’язані з рівняннями гіперболічного типу, краще розглядати окремо ).

Крайова задача математичної фізики формулюється так: знайти функцію (розв’язок задачі), яка задовольняє деякому диференціальному рівнянню (чи системі диференціальних рівнянь) в частинних похідних, а на межі області задання рівняння (чи системи) задовольняє заданим крайовим умовам.

Отже, кожна крайова задача містить три види інформації:

інформацію, “закладену” в диференціальному рівнянні чи системі;
інформацію про геометрію області, в якій задається рівняння чи система;
інформацію про ті чи інші крайові умови на межі області задання рівняння чи системи.

Трудність розв’язання тієї чи іншої крайової задачі математичної фізики пов’язана з переліченими вище факторами:

складністю диференціального рівняння чи системи диференціальних рівнянь;
складністю геометрії області задання рівняння чи системи;
типом крайових умов, заданих на межі області.

3.1 Канонічні рівняння еліптичного типу – рівняння Лапласа та Пуассона.

З рівнянь еліптичного типу ми розглянемо лише найбільш відомі їх представники – рівняння Лапласа та Пуассона, які в декартовій системі координат мають відповідно вид:

(3.1)

(3.2)

Тут - шукана функція від двох незалежних змінних, - двовимірний оператор Лапласа.

Рівняння Лапласа найпростіше і найбільш вивчене із всіх еліптичних рівнянь.

Дані рівняння сумісно з відповідними крайовими умовами описують багато стаціонарних двовимірних фізичних процесів: встановлену фільтрацію підземних вод, електро- і магнітостатичні поля, процеси поширення тепла, дифузійні явища та інші. Всі ці процеси описуються даними рівняннями в однорідних ізотропних середовищах, де провідність не залежить від точки середовища та від напрямку, вибраному в ньому.

Розглядають також квазістаціонарні процеси, які описуються вище приведеними рівняннями, але в яких шукана функція залежить також від часу. Тут входить як параметр.

3.2. Канонічні рівняння параболічного типу – рівняння теплопровідності, конвективної дифузії

Рівняння в частинних похідних параболічного типу описують нестаціонарні динамічні процеси, тобто такі, які змінюються в часі.

Найбільш типовими представниками рівнянь параболічного типу є:

3.2.1. Рівняння теплопровідності

В найбільш загальному, так званому, дивергентному вигляді в системі координат воно може бути представлене як

, (3.3)

де температура в точці в момент часу ; - питома теплоємність; - густина; - тензор (коефіцієнт) теплопровідності; - інтенсивність внутрішніх джерел тепла.