- •Особливості курсу
- •Етапи розв’язку прикладної задачі на еом
- •1. Класифікація рівнянь в частинних похідних.
- •2. Основні типи рівнянь математичної фізики.
- •3. Постановки крайових задач для основних рівнянь математичної фізики еліптичного та параболічного типів.
- •3.1 Канонічні рівняння еліптичного типу – рівняння Лапласа та Пуассона.
- •3.2. Канонічні рівняння параболічного типу – рівняння теплопровідності, конвективної дифузії
- •3.2.1. Рівняння теплопровідності
- •3.2.2. Рівняння конвективної дифузії мігруючих речовин в деякому пористому середовищі (наприклад, водорозчинних речовин в ґрунті) має вид:
- •3.3. Крайові умови та їх види
- •3.3.1 Задання початкової умови (для рівнянь параболічного типу – теплопровідності та дифузії)
- •3.3.2 Задання граничних умов.
- •3.4.Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу
- •3.5. Постановка крайових задач для рівнянь параболічного типу
- •4. Методи розв’язування задач для рівнянь в частинних похідних
- •5. Суть методу скінчених різниць (сіток). Елементарні відомості з теорії різницевих схем
- •5.1. Ідея методу скінчених різниць (сіток)
- •5.2. Елементарні поняття з теорії різницевих схем
- •6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу.
- •6.1. Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)
- •6.2. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона
- •6.3. Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8).
- •6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле.
- •Лабораторна робота №1.
- •Порядок виконання роботи.
- •Контрольні запитання.
- •Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки.
- •7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності.
- •7.1 Явна різницева схема
- •7.1.1 Алгоритм ручного рахунку
- •7.2 Неявна різницева схема.
- •7.3 Лабораторна робота №2
- •Порядок виконання роботи.
- •Контрольні запитання.
- •8. Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності
- •8.1 Деякі позначення
- •8.2 Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності
- •8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами
- •8.4.Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності.
- •9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні
- •9.2 Монотонні рс для звичайного рівняння другого порядку, що містить перші похідні
- •9.3 Монотонна різницева схема для параболічного рівняння
- •10. Інтегро-інтерполяційний метод побудови рс.
- •10.1 Вступ. Методи побудови рс
- •10.2 Приклади побудови рс інтегро-інтерполяційним методом.
- •11. Різницеві схеми для рівнянь гіперболічного типу.
- •Різницева схема для рівняння коливання
- •1. Постановка задачі.
- •2. Різницева апроксимація задачі (1)-(3)
- •13. Економічні методи розв’язання крайових задач математичної фізики.
- •13.1 Економічні методи розв’язання першої крайової задачі для двовимірного рівняння теплопровідності.
- •Стійкість поперечно-поздовжньої рс
- •14. Загальні відомості з теорії стійкості рс.
- •1. Канонічний вигляд двохшарових рс.
- •2. Теорема про стійкість по початкових даних
- •Сумарна апроксимація
- •Локальна одновимірна схема Салмарського
- •1. Вступ
- •2. Основна концепція мсе
- •Переваги і недоліки мсе
- •Математичні основи методу мсе
- •Кусково-визначені базисні функції і мсе.
- •Поняття скінченого елемента.
- •V. Питання гарантованого рівня знань
V. Питання гарантованого рівня знань
Приклади чисельних методів розв’язування крайових задач математичної фізики.
Елементарні поняття теорії різницевих схем: апроксимація, стійкість, збіжність.
Апроксимація похідних.
Різницева схема крайової задачі Діріхле для рівняння Лапласа і Пуасона.
Явна різницева схема першої крайової задачі для найпростішого рівняння теплопровідності та її розв’язання.
Критерії стійкості явної схеми.
Недоліки явної різницевої схеми.
Неявна різницева схема першої крайової задачі для найпростішого рівняння теплопровідності та її переваги.
Суть методу прогонки розв’язування неявної різницевої схеми.
Стійкість неявної різницевої схеми.
Різницева схема задачі масопереносу розчинених речовин.
Різницева схема двовимірної задачі теплопровідності.
Локально-одновимірний метод Самарського розв‘язування різницевої схеми для двовимірної задачі теплопровідності.
Різницева схема крайової задачі для одновимірного рівняння гіперболічного типу.
Приклади скінченних елементів: одновимірного та двовимірного трикутного.
Скінченноелементна схема задачі Діріхле для рівняння Пуассона.
Задача про мінімум квадратичного функціоналу.
Ідея методу Рітца.
Ідея методу Бубнова-Гальоркіна.
Природні та головні граничні умови.
Типова схема реалізації МСЕ.