Кусково-визначені базисні функції і мсе.

1. Поняття скінченого елемента.

В методах апроксимації , розглянутих вище, допускалось, що базисні функції N , які входять в розклад (6) були визначені одним виразом на всій області Ω, а інтеграли в апроксимуючих рівняннях, типу:

а) (25)

б) (26)

обчислювались відразу по всій області.

Альтернативний підхід полягає в розбитті області Ω на ряд під областей, що не перекриваються, або елементів Ω , і побудови потім апроксимації φ кусковим чином , тобто окремо на кожній під області . Тоді , використані в процесі апроксимації базисні функції також можуть бути визначені кусковим чином із застосуванням різних виразів для різних під областей Ω , з яких складена вся область. В цьому випадку визначені інтеграли, що входять в апроксимуюче рівняння , можуть бути отримані простим сумуванням (асамблюванням) їх вкладу по кожній під області чи елементу, тобто

(1)

Так само цей інтеграл

б) (2)

При умові, що

Тут Е-загальне число під областей, на які розбивається ся область Ω, а -частина межі , що лежить на межі області Ω.

Таким чином, сумування , що включає Г здійснюється тільки по тих елементах Ω , які безпосередньо прилягають до межі . Якщо під області мають порівняно просту форму, базисні функції на цих під областях визначаються однотипно , то досить просто оперувати вказаним вище чином у випадку областей спадної геометричної форми , які складаються з таких під областей.

Розглядана вище теорія є частинним випадком МСЕ, коли вся область вважається одним елементом.

Кускове визначення базисних функцій означає, що апроксимуючі функції або їх похідні можуть мати розриви. Такі розриви в похідних вищого порядку допустимі. Якщо базисні функції визначені кусковим чином , то вигідно поставити їм у відповідність деякий “малий носій”, покладаючи їх рівними 0 скрізь , крім розглядуваного елементу і безпосередньо прилягаючих до них під областей (базисні функції з фінітними носіями).

х1 х2 х

Це дозволить отримати апроксимуюче рівняння із смужковими матрицями, що забезпечують МСЕ додаткової переваги.

Приклад.

Розглянемо застосування МСЕ до розв’язування крайових задач математичної фізики, зокрема для розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

T(x,0)=T=-10°C, 0 x 4

T(x,3)=T =200°C, 0≤x≤4

T(0,y)=70y-10, 0≤y<3

T(4,y)=70y-10, 0≤y≤3

T =10,i=1,3 T =200,i=1,3

T =60 T =110

2) Розбиття області Ω

Ω={0≤y≤4, 0≤y≤3}

С кінченими елементами виберемо ∆. Вони є найбільш універсальними. Занумеруємо трикутні елементи , а також вузли. На кожному трикутному елементі е будемо розглядати три лінійні базисні функції. Нехай елемент має вузли i, j, k. k

Тоді лінійна базисна функція , що відповідає вузлу і

Скінченого трикутного елемента буде мати вигляд

у вузлі і

0, у вузлі j,k i j

3) де - визначені таким чином, щоб у вузлі i , , а в інших вузлах

j,k=0

Неважко показати, що

- площа скінченого трикутного елемента

=det

1

1 =1/2

1

В даному випадку , лінійними базисними функціями для елемента 1 будуть:

(1)

(2)

4. Апроксимацію розв’язку T(x,y) вихідної крайової задачі шукаємо у вигляді звичайної скінчено – елементарної схеми:

N - глобальні лінійні базисні функції, рівні 1 у вузлі m,і , 0- у інших вузлах

φ - значення у вузлах.

5) Запишемо рівняння методу Гальоркіна

В слабкому формулюванні методу зважених нев’язок у використанні методу Гальоркіна , маємо:

(3)

Це для задачі

Апроксимуючи рівняння, отримаємо:

(4)

(4.1)

Використовуючи формулу Гріна:

(5)

де - напрямляючі косинуси зовнішньої нормалі n до замкнутої кривої Г, що обмежує область Ω в площині xy, а інтегрування здійснюється проти годинникової стрілки . Тому формула Гріна спроститься і будемо мати:

(6)

Підставляючи у вираз для (формулу(*)) у (6) ми отримаємо стандартну систему рівнянь

k- матриця, що визначається асалиблюванням окремих елементів.