Стійкість поперечно-поздовжньої рс
Для дослідження стійкості поздовжньо-поперечної схеми викликають проміжні значення з рівнянь (0)-(1) (отримали рівняння а). Підставимо (9) у рівняння (1) і отримаємо еквівалентну схему:
(13)
Ми дослідимо на стійкість дану РС лише по початкових даних, тому граничні умови у вихідній задачі =0 , (х,t)=0
Домноживши і поділивши на останній доданок будемо мати таку РС:
,
i=1,n-1
, j=1,m-1
,k=0,K-1
(14)
k=
0,K
(15)
(16)
Щоб показати стійкість поздовжньо-поперечної РС достатньо показати стійкість останньої еквівалентної їй РС (14)
14. Загальні відомості з теорії стійкості рс.
1. Канонічний вигляд двохшарових рс.
Нехай задана сім’я скінчено – вимірних лінійних просторів H , розмірність яких залежить від параметра h. Він вважається вектором з нормою h(|h|). У застосуванні до конкретних РС простір H складається із функцій , що задані на просторовій сітці Ω і характеризуються кроком h.
Розглянемо
функції
дискретного аргумента
із
значеннями в просторі H
.
Ці функції U
можуть залежати параметрично від h
і τ. Нехай задані лінійні оператори B1
i
B2
, що діють в H
і функції
.
Двохшаровою РС називається сім’я операторно - різницевих рівнянь першого порядку
,
k=0,K-1
(17)
U˚є H - задано (18)
Враховуючи
монотонність
Отримаємо
, що довжину РС (17) можна записати на
сітці ω
у вигляді:
,
k=0,K-1
(19)
U˚ є H –задано (20)
де А,
В- лінійні оператори, такі що
Канонічним виглядом (канонічною формою) двохшарової РС називається її запис у вигляді (19). Оскільки одну і ту ж РС можна записати багатьма способами, то у введення канонічної форми запису РС полегшує аналіз і порівняння різних РС. По формі запису дана РС нагадує собою абстракну задачу Коші для диференціального рівняння:
У випадку оператор А являє собою апроксимацію просторового диференціального оператора А, оператор В задає ту чи іншу РС. Тому запис РС у вигляді (19) часто спрощує перевірку стійкості РС.
Оскільки одну і ту ж РС можна записати багатьма способами , то у введення канонічної форми запису РС полегшує аналізі порівняння різних РС. По формі запису дана РС нагадує собою абстрактну задану Коші для диференціального рівняння.
2. Теорема про стійкість по початкових даних
Нехай
в просторі H
задано скалярний добуток (U,V)
і
норма
Оператор D, що діє в H називається додатнім оператором , якщо (DU,U) >0, для U є H
Самоспряжений оператор D, якщо U,U є H : (DU,U)=(U,DU) (оператор другої різнец. похідної -самоспряжений)
Теорема:
Нехай в схемі (19) оператор А є самоспряженим додатнім оператором і незалежним від k . Якщо виконана наступна оп-на нерівність В≥0.5τ А (21) , то схема (19) рівномірно стійка по поч. даних .
Із (14) отримаємо
(22)
k=0,K-1,
U
–задано
)
є H
˚
Воно зводиться до канонічного вигляду , причому:
Е- єдиний оператор
Легко бачити, що всі складові оператора В є додатні і умова стійкості (21) виконується
В≥0.5τА, , h1, h2.
Отже, поздовжньо – поперечна схема абсолютно стійка для , h1, h2. Стійкість доведено.