2. Основні типи рівнянь математичної фізики.

Лінійні ДРЧП найчастіше 2-го порядку називають рівняннями математичної фізики. Вони описують реальні фізичні процеси.

Нехай  означає диференціальний оператор Лапласа, тобто лапласіан деякої функції двох змінних , який має вид:

.

Найпростішими представниками диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного, параболічного та гіперболічного типів є:

1. Рівняння Лапласа і Пуассона – еліптичний тип

(рівняння Лапласа); (2.1)

(рівняння Пуассона); (2.2)

2. Рівняння теплопровідності (дифузії) – параболічний тип

(2.3)

3. Хвильове рівняння – гіперболічний тип

(2.4)

Дані рівняння є основними рівняннями математичної фізики. Вони описують реальні фізичні процеси, а саме:

1. рівняння еліптичного типу – стаціонарні чи квазістаціонарні (встановлені) потенціальні гідро-газодинамічні потоки, електро-магнітостатичні поля, та інші стаціонарні процеси; форми поверхонь мембран;

2. рівняння параболічного типу – нестаціонарні процеси дифузії, переносу тепла, дифузійні процеси масопереносу та ін.;

3. рівняння гіперболічного типу – нестаціонарні процеси коливання струн, стержнів, мембран, об’ємів; акустичні та електромагнітні коливання.

Типи рівнянь математичної фізики, що часто зустрічаються в інженерній практиці та приведені до канонічної форми, можна наглядно представити таблицею 1.

Таблиця 1.

Назва типу рівняння	Назва рівняння	Математична форма рівняння в канонічній формі	Приклади практичних застосувань
1	2	3	4
еліптичний	а)Лапласа б)Пуассона		(Квазі)стаціонарні по-ля тієї чи іншої природи; встановлені потоки тої чи іншої субстанції: - інтенсивність дії вну-трішніх джерел поля, де - координати дові-льної точки поля.
параболічний	дифузії, переносу		Нестаціонарні процеси дифузії, переносу те-пла, тої чи іншої субстанції під дією внутрішнього джерела, якщо де t – час протікання про-цесу, - координати довільної точки поля
гіперболічний	хвильове		Нестаціонарні процеси поширення коливань деякої субстації, про-цесу чи об’єкта під дією зовнішнього збу-рення інтенсивності F.

Тут - це оператор Лапласа, який має вигляд:

- для одновимірного випадку, коли розглядається процес на лінійній дільниці;

- для двовимірного випадку, коли розглядається процес на деякій поверхні;

- для трьохвимірного випадку – коли розглядається процес в деякому об’ємному тілі.

Виявляється, що будь-яке лінійне диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних в результаті тих чи інших перетворень стараються привести до одного із трьох розглянутих типів канонічної форми рівнянь математичної фізики. А тому важливо вміти розв’язувати саме ці основні типи рівнянь тими чи іншими способами та застосовувати при їх при розгляданні реальних задач інженерної практики.

Однак, виявляється, що цього мало при переході до вивчення реальних практичних задач і ось саме чому. При розгляді конкретного процесу чи об’єкту, що описується рівнянням того чи іншого типу, необхідно ввести крім самого рівняння, ще і додаткові умови, які характеризують саме цей конкретний об’єкт чи процес. І ось якраз розгляд цих додаткових умов (їх називають крайовими умовами)одночасно з даним рівнянням і створює всю розмаїтість, невичерпність і часто складність розв’язувань такого типу задач реальної практики, коли застосовуються рівняння математичної фізики.

В результаті ми будемо отримувати різноманітні так звані крайові задачі, які характеризують той чи інший розглядуваний процес чи об’єкт.