11. Різницеві схеми для рівнянь гіперболічного типу.

Як відомо з курсу математичної фізики, типовим представником рівнянь гіперболічного типу є рівняння коливання деякої матеріальної субстанції(струн, стержнів, мембран, акустичні коливання).

Розглянемо побудову РС для першої крайової задачі для одновимірного рівняння коливання:

1. Різницева схема для рівняння коливання

1. Постановка задачі

Як відомо, перша крайова задача для рівняння коливання струни записується наступним чином:

(1)

Як відомо з курсу математичної фізики , дана задача поставлена коректно:

1.Що розв’язок її існує:

2.Розв’язок єдиний;

3.Розв’язок стійкий , тобто розв’язок неперервно-залежний від початкових і граничних даних.

2. РС задачі.

Для побудови РС даної задачі, введемо в області задання рівняння (1) рівномірну сітку з кроками h i τ, де

t

T

( k+1)

k

( k-1)

0

x

Для апроксимації задачі (1) можна скористатися мінімальним 5-точковим шаблон шаблоном у вигляді хреста. Причому в даному шаблоні, навідміну від раніше розглянутих нами використовує три часові шари: (К-1) , К, (К+1). Тому побудовані РС називаються трьохшаровими або трьохярусними.

Їх застосування вимагає, щоб при знаходженні значення на верхньому шарі необхідно значення даної функції на шарах і , які повинні зберігатись в пам’яті ЕОМ. Апроксимувавши другі похідні в рівнянні (1) їх скінченнорізницевими аналогами та підставивши їх в один отримали наступну систему алгебраїчних рівнянь :

(1) (6)

Різницеві рівняння (6) мають порядок апроксимації 0(h²+τ²)

Розвязок (6)на (К+1) шарі виражається явним числом і має вид (7):

(7)

Для проведення числових розрахунків по формулі (7) повинні бути задані значення функції на двох попередніх шарах k-1 і k.Апроксимація граничних умов (2) і (3):

(8)

(9) ,

(4) , (10)

(5)

Остання формула означає, що друга початкова умова (3) апроксимована з порядком (0()). Недоліком отриманої РС є те, що вона має перший порядок точності по часу. Але ми можемо побудувати РС задачі (1)-(5), яка б мала порядок точності (0(h²+²)). Тому , при апроксимації (5). можна скористатись уточненою різницею . Однак, це призведе не до явної схеми, оскільки буде задіяно три шари : 0,1,2. Але ми поступимо по-іншому, а саме, розкладемо першу похідну в ряд Тейлора:

(12)

Різницевим аналогом (12) служить (13)

(13)

враховуючи рівняння (1), член замінимо на і перепишем (13) так:

(14)

З (14) маємо:

(15)

З (11) маємо:

(16)

Отримана різницева схема (7)-(10) і формула (16) побудовано з точністю 0(h²+τ²).

Можна показати що дана схема стійка при .Для того, щоб показати стійкість РС, розв’язок (6) шукаємо у вигляді:

(17)

- це частинні розв’язки

І-уявна одиниця

φ- довільне число

q-число, що необхідно знайти

h- крок сітки

(18)

(19)

a) б)

(20)

Підставляючи (17) в (7) і скорочуючи на ℓ , отримаємо рівняння (18)

(18)

Будемо вважати, що різницеве рівняння (7) стійке, якщо обидва корені ( q1 і q2) рівняння (18) не перевищують 1. Нехай q1, q2- корені даного рівняння . Якщо обидва корені дійсні, то в силу того, що q1•q2=1, по теоремі Вієта, тоді знайдеться таке φ, що одне з |q1|≥1, a |q2|≤1. Якщо ж корені комплексно спряжені, тобто , , то |q1|=|q2|=1

Таким чином , різницеве рівняння (7) стійке, якщо при всіх дійсних φ виконується умова(19)

Остання нерівність виконується для всіх φ , якщо τ≤h . Умова (19) є умовою стійкості побудованої РС . Більш строге обґрунтування стійкості РС можна дати, використовуючи принцип max для РС.

12. Різницеві методи чисельного розв’язання багатовимірних задач Математичної фізики. Різницева схема звагами для дво вимірного рівняння теплопровідності.