10.2 Приклади побудови рс інтегро-інтерполяційним методом.

Побудуємо РС інтегро-інтерполяційним методом для рівняння теплопровідності

(1)

Із змінним коефіцієнтом К(х),

Для побудови РС розглянемо шаблон:

i-1 i i+1

K+1

i-½ i+½

q1 q1 q2 Рис.1

i,K

Позначимо середні точки інтервалів сітки напівцілими індексами і виконаємо інтегрування (1) по заштрихованій області:

(2)

маємо: (3)

Дане балансове співвідношення є точним для заштрихованої комірки. Перший інтеграл обчислюємо за формулою середніх прямокутників, а другий - за формулою правих прямокутників. Зауважимо, що рівняння (2) після інтегрування є рівнянням балансу тепла для виділеної комірки.

Введемо позначення q=-KU , яке виражає потік тепла. Тобто другий інтеграл в отриманому співвідношенні дає кількість тепла, яке залишається в стержні за рахунок теплових потоків на відрізку .

Перший інтеграл являє собою зміну потоку тепла в стержні на проміжку часу τ. Останній інтеграл – це різниця потоків тепла на вході і виході . Тоді використовуючи формули наближеного інтегрування, з передостаннього співвідношення маємо:*****

Перший інтеграл

(4)

Другий iнтеграл:

(5)

Підставляючи (4) і (5) в (3) отримаємо на рівномірній сітці:

(6)

З (6) слідує, що

(7)

Перетворимо (7) і маємо:

(8)

Таким чином ми отримали ІІМ РС (8) для рівняння теплопровідності із змінним коефіцієнтом теплопровідності. Якщо К(х) =К=const , то отримана з (8) – неявна РС .

Отриману різницеву схему далі можна розв’язувати методом прогонки. Представимо (8) в прогоночному вигляді:

(9)

Коефіцієнти прогонки:

(10)

Розв’язок знаходиться методом прогонки:

(11)

Самостійно показати, що умови стійкості методу прогонки виконуються, і що дана схема володіє монотонністю.

Завдання: побудувати РС для рівняння теплопровідності із розривним коефіцієнтом , тобто з К1 та К3.

Приклад2:

ІІМ побудувати РС для задачі мало переносу

(12)

Інтегруємо

(13)

Підставляючи І1, І2, І3 в останнє рівняння фалангу , отримаємо:

Зводимо до прогоночного вигляду:

Побудована РС є монотонною.