9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні

1. Вступ

Нехай задано рівняння параболічного типу, що містить першу похідну:

(1)

З фізичної точки зору дане рівняння описує процес, що характеризує дифузійно-конвективний перенос деякої матеріальної субстанції. Приклад: масоперенос, теплоперенос. Перший член відповідає за перенос дифузійним шляхом (коефіцієнт дифузфї рівний одиниці), а другий відповідає за перенос конвективним шляхом.

Рівняння масопереносу: (2)

С-концентрація речовин.

Особливістю числового розв’язку крайових задач для рівнянь (1), або (2) є наявність члена з першою похідною, або конвективного числа.

Ми апроксимуємо цей конвективний член кількома способами:

(3)

Перший спосіб веде до нестійкої схеми. Третій спосіб веде до “помітних викидів” числового розв’язку. Тому даний член апроксимується лівосторонньою різницею (протипотоковою).

Однак при апроксимації конвективного члена лівосторонньою різницею при використанні звичайної неявної різницевої схеми при деяких h і τ спостерігаються осциляції чисельного розв’язку. Тому різницева схема в якій спостерігаються осциляції чисельного розв’язку є монотонною.

Різницеві схеми, що зберігають монотонність розв’язку різницевих задач називаються монотонними (чисельний розв’язок не має осциляції). Отримані раніше розв’язки по явній різницевій схемі були монотонними.

9.2 Монотонні рс для звичайного рівняння другого порядку, що містить перші похідні

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння другого порядку, що містять перші похідні:

(4)

Нехай треба отримати чисельний розв’язок задачі (4),

запишемо різницеву схему для (4):

(5)

Крайові умови:

Різницева схема другого порядку апроксимації буде монотонною при заміні **** різниці співвідношенням, буде монотонною лише при досить малих кроках h. Запишемо дану різницеву схему в канонічному вигляді:

(6)

В теорії різницевих схем доводиться факт що різницева схема, записана а канонічному вигляді буде монотонною при умові додатності коефіцієнтів даного різницевого оператора, записаного в канонічному вигляді. Щоб різницева схема

(6) була монотонною, треба вимагати виконання додатності коефіцієнтів.

(7)

(8)

Побудована різницева схема буде монотонною, якщо виконується умова (8). Дана схема буде монотонною для всіх h, якщо Побудуємо різницеву схему для рівняння (4) для деяких часткових випадків:

1) Апроксимуємо першу похідну правосторонньою різницею, тоді отримаємо різницеву схему:

(9)

Дана схема має перший порядок апроксимації . Запишемо дану схему в канонічному вигляді:

(10)

Умови монотонності схеми виконуються, оскільки

Отже дана РС монотонна в  кроках h.

Зауваження: Першу похідну ми апроксимували правою різницею, бо коефіцієнт r0

2.Нехай r(x)0, x є (0;1)

Запишемо різницеву схему в канонічному вигляді:

(11)

(12)

Отже, дана різницева схема також монотонна при  кроках h з порядок апроксимації О( ).

3. В загальному випадку, якщо не знаємо, якого порядку функція представимо:

(13)

де r (x)=0,5(r(x)+|r(x)|) 0, r _(x)=0,5(r(x)-|r(x)|)0 (14)

Тоді побудуємо різницеву схему з так званими направленими різницями.

Підставимо представлення для r(x)у формулу (1), будемо мати:

(15)

Покажемо, що дана РС монотонна при  кроках h. Для цього запишемо (15) в канонічному виді:

(16)

Не важко показати, що дана РС монотонна при  кроках h.

Однак, як і попередні дана різницева схема має порядок апроксимації 0( ).

Для даної задачі Самарський побудував монотонну РС, яка має другий порядок апроксимації.

Для того, щоб побудови монотонну РС, що має порядок апроксимації 0(h²), треба більш детально вивчити похибку апроксимації рівняння (14)

(17)

Користуючись розкладом похідних в (17) по формулі Тейлора, а саме:

і підставити в (17), то для похибки апроксимації отримаємо такий вигляд:

(18)

Враховуючи (1) і (4) отримаємо

Звідси видно, що дещо змінена монотонна різницева схема по відношенню до (15), а саме:

(19)

Дана РС буде монотонною та другого порядку апроксимації 0(h²). Щоб показати монотонність, запишемо в канонічному вигляді:

****

Порядок апроксимації не зміниться , якщо коефіцієнт замінити з точністю 0(h²) додатнім коефіцієнтом

(21)

Таким чином отримаємо різницеву схему:

, (22)

яка має другий порядок апроксимації. Щоб показати монотонність, запишемо (22) канонічному вигляді:

(23)

Якщо x>0, то звідси слідує, що схема є монотонною при   і h, і має порядок апроксимації 0(h²). Оскільки дана схема монотонна, вона стійка.