8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами

До цього часу ми розглядали різницеві схеми для рівняння теплопровідності із сталими коефіцієнтами.

Розглянемо постановку І-ї крайової задачі для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами. Рівняння має вигляд

(11)

(12)

(13)

(14)

- густина стержня;

- коефіцієнт теплопровідності.

Де - досить гладкі функції, тобто мають похідні потрібних порядків по всіх змінних.

Для отримання різницевої схеми задачі (11)-(14) апроксимуємо його різницевим аналогом є

(*)

- різницевий коефіцієнт теплопровідності, який задається умовами другого порядку апроксимації, а саме

(15)

Для знаходження використаємо:

1. (16)

2. (17)

3. (18)

Тоді для задачі (11)-(14) різницева схема з вагами матиме вигляд:

(19)

Вигляд різницевого оператора має вигляд (*).

Висновки:

1. При маємо явну різницеву схему, тобто , яка легко розв’язується.

2. При і різницева схема має порядок апроксимації .

3. Для всіх інших вона має порядок апроксимації .

Для дослідження стійкості різницевої схеми із змінними коефіцієнтами застосовується так званий принцип “заморожених коефіцієнтів”.

В другому та третьому випадку для (19)-(22) різницева схема отримується неявною і її розв’язок знаходиться методом прогонки. Для застосування методу прогонки, рівняння (19) потрібно представити в про гоночному вигляді. Для простоти отримаємо ці коефіцієнти при . Тоді рівняння (19) запишеться так

(27)

(28)

(29)

(30)

Інші коефіцієнти аналогічні попереднім (дивись неявну різницеву схему).

8.4.Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності.

Розглянемо різнецева схема для нелінійного рівняння теплопровідності, тобто рівняння у вигляді:

(31)

Дане рівняння описує процес поширення тепла у високотемпературній плазмі. У випадку нелінійних рівнянь, коли наперед невідомі межі зміни коефіцієнту теплопровідності K(u), уникають користування явними схемами.

Чисто неявна різницева схема відносно K( має вигляд:

, де

Розв’язок даної різницевої схеми знаходимо методом “прогонки”. Для цього запишемо дану різницеву схему в про гоночному вигляді:

Часто використовують нелінійну різницева схема

Коефіцієнт

Для реалізації цієї схеми потрібно використати той чи інший інтерсхемаційний метод. Наприклад, можна використати такий:

(32)

Тут s=0,1,2,…,m-1

;

s-номер ітерації

Як бачимо, нелінійні коефіцієнти беруться з попередньої ітерації, а в якості початкового наближення для вибирається . Це початкове наближення тим краще, чим менший крок по τ. Число ітерацій m задається з врахуванням точності. В задачах з гладкими коефіцієнтами при K(U)≥c1>0 часто буває достатньо провести дві, три ітерації. Значення U на новій ітерації знаходиться із системи різницевих рівнянь , методом ’’прогонки’’.

При М=1 даний ітераційний метод співпадає з неявною різницевою схемою.

Для наближеного розв’язання нелінійного рівняння (32) застосовуються також схеми предиктор – коректор другого порядку точності, аналогічний методу Руни-Кутта для звичайного диференціального рівняння. Тут перехід з шару (к) на шар (к+1) здійснюється в два етапи:

K+1

K+½

K

Наведемо приклад такої схеми :

1. На першому етапі розв’язується неявна різницева схема (лінійна система рівнянь )

Із якої знаходяться проміжні значення

2.Потім, на другому етапі використовується шести точкова схема для рівняння (32), в якому нелінійні коефіцієнти a(U), f(U), і вона має вигляд:

Записуються ці схеми у звичайному вигляді.