7.3 Лабораторна робота №2

Тема. Чисельне розв’язання змішаної крайової задачі для рівняння теплопровідності.

Мета. Навчитись проводити розрахунок поширення тепла по явній та неявній різницевих схемах у випадку першої крайової задачі для рівняння теплопровідності.

Завдання. Розрахувати розподіл температури в однорідному стержні довжини l, виготовленого з певного матеріалу з теплофізичними властивостями ,c, , температура T(x,t) в якому задовольняє рівнянню теплопровідності

a² ,0<х<l, 0<t<t₁ ,

якщо крайові умови мають вид:

відомо розподіл температури в початковий момент часу

T(x,0)=f(x)= x ^s+1+T₁ ,

і теплові режими (підтримується задана температура) на кінцях стержня

Т(0,t)= (t) =T₁=k,

T(l,t)=

де k ­– номер варіанта, S–номер групи.

Для розрахунків взяти l=0,5м, h =0,1м , m=3.

Порядок виконання роботи.

1. Записати математичну модель процесу поширення тепла в однорідному стержні довжини l в диференціальній формі.

2. Записати явну різницеву схему крайової задачі.

3. По таблиці теплофізичних величин виписати для свого варіанту.

4. Користуючись приведеним вище алгоритмом ручного рахунку, виконати розрахунок розподілу температури в стержні по явні схемі.

5. Результати рахунку занести в таблицю.

6. Побудувати графіки залежностей T=T(x, t_*), T=T(x_*, t), t_*, x_* –параметри.

7. Провести розрахунок по явній схемі на ПЕОМ.

8. Виконати розрахунок розподілу температури, користуючись вище ­­– приведеним алгоритмом ручного рахунку, по неявній різницевій схемі.

9. Результати обчислень прямого і зворотнього ходів занести в таблиці, аналогічні таблицям 4–6. Значення температури для кожного температурного шару виписати у зведену таблицю 7.

10. Побудувати графіки залежностей розподілу температури

T=T(x, t_*), T=T(x_*, t).

11. Провести розрахунок по неявній схемі з використанням ПЕОМ.

12. Порівняти окремо для кожної схеми результати ручного рахунку і машинного. Зробити висновки.

13. Оформити і захистити лабораторну роботу.

Контрольні запитання.

1. Навести приклади основних рівнянь математичної фізики та їх типових представників; вказати фізичні процеси, які вони описують.

2. Поняття крайової задачі. Крайові умови; типи граничних умов.

3. Постановки крайових задач для рівнянь параболічного типу (наприклад, одновимірного рівняння теплопровідності ).

4. Принцип максимуму для рівнянь параболічного типу.

5. Методи розв’язування крайових задач для рівнянь параболічного типу.

6. Апроксимація похідних.

7. Явна різницева схема першої крайової задачі для найпростішого рівняння теплопровідності та її розв’язування.

8. Критерій стійкості явної схеми.

9. Недоліки явної різницевої схеми.

10. Неявна різницева схема першої крайової задачі для найпростішого рівняння теплопровідності та її переваги.

Суть методу прогонки розв’язування неявної різницевої схеми.

8. Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності

8.1 Деякі позначення

8.2 Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності

На даний час ми розглянули дві різницевих схеми: явну і неявну. Розглянемо інші різницеві схеми для рівняння теплопровідності

(5)

Розглянемо шести точковий шаблон.

Шеститочковою, симетричною різницевою схемою для рівняння теплопровідності (5) називається різницева схема

(6)

(6’)

Дану різницеву схему з шести точковим шаблоном для рівняння теплопровідності називають ще схемою Кранка-Ніколсона. Значення на шарі знаходиться методом прогонки. Дане рівняння в про гоночному вигляді є наступним

, де коефіцієнти знаходяться із формули (6’).

Для даної схеми початкові та граничні умови і їх апроксимація задається як і раніше (дивись неявну різницеву схему).

Можна довести, що ця схема має другий порядок апроксимації, як по так і по , якщо тільки . Вона абсолютно стійка і її можна розв’язувати методом прогонки.

Узагальнення трьох розглянутих різницевих схем є однопарна сім’я різницевих схем з вагами. З цією метою задамо довільний дійсний параметр і визначимо різницеву схему для рівняння (5).

(7)

Розглянемо випадки:

• При для (7) маємо явну різницеву схему ;

• При для (7) маємо неявну різницеву схему ;

• При для (7) маємо шести точкову симетричну різницеву схему ;

• При ;

• Для інших порядок апроксимації рівний .