7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності.

Розглянемо процес чисельного розв’язку методом сіток краєвих задач для рівнянь параболічного типу для простіших одновимірних рівнянь, а саме для рівняння теплопровідності. Як відомо процес поширення тепла в одновимірному випадку описується наступним рівняння теплопровідності

(1)

- густина матеріалу;

- коефіцієнт теплопровідності;

Т – температура;

t – час;

- функція джерела.

Нехай . Поділимо (1) на і отримаємо

(2)

а² – коефіцієнт температуропроводності.

Дане рівняння описує процес поширення тепла в однорідному випадку, наприклад в стержні. Для однозначного визначення фізичного процесу до рівняння (2) потрібно додати додаткові умови.

Таким чином розглянемо першу краєві задачу для рівняння теплопровідності. Розв’язок шукаємо в

(3)

(4)

(5)

Розв’яжемо дану задачу методом сіток. Покриємо область G різницевою сіткою з кроками h по х та по часу.

Таким чином ми маємо сіткову область

Для побудови різницевих схем задачі проведемо апроксимацію похідних.

Температуру .

(6)

З точністю .

(7)

або

(8)

З точністю .

Природно постає питання, яку апроксимаційну похідну по часу взяти (7) чи (8). Вибір однієї з 2-х апроксимацій веде до принципово різних різницевих систем. А саме вибір похідних за формулою (7) веде до явної різницевої схеми. А вибір апроксимаційних похідних за формулою (8) веде до неявної різницевої схеми.

7.1 Явна різницева схема

Апроксимуючи похідні по формулах (6), (7) і підставляючи їх в рівняння (2) отримаємо

(9)

Шаблон явної різницевої схеми має вигляд (Рис.1).

З формули (9) легко визначити

(10)-(12) – це явна різницева схема для змішаної краєвої задачі теплопровідності з крайовими умовами І-го роду. Дана різницева схема явна, бо температура на k+1 шарі визначається явно із системи рівнянь.

В література доведено, що така явна різницева схема є стійкою, якщо параметр

(14)

Це означає, що при числовому розв’язку даної задачі по явній схемі кроки сітки h і не можна вибирати довільними, а з врахуванням умови стійкості (14) даної різницевої схеми.

Таким чином недолік явної різницевої схеми полягає в жорізнецева схематкій умові стійкості, а саме в тому, що кроки h і зв’язані. Якщо зафіксувати один з них, то другий потрібно вибирати з умови стійкості.

Приклад:

При машинних розрахунках зручно покласти 0,5 або .

Таким чином матимемо:

(15)

(16)

Доведено, що похибка явної різницевої схеми (10)-(12) при =0,5 або = наступна

при наявності джерел в (10) потрібно добавляти .

7.1.1 Алгоритм ручного рахунку

1. Обчислити коефіцієнт температуропроводності .

2. Вибрати число поділу відрізка .

3. Обчислити розбиття відрізка .

4. Користуючись умовою стійкості (14) обчислити крок по поклавши .

5. При заданому обчислити кількість кроків по часу .

6. Покрити область прямокутною сіткою з кроками h і .

7. Користуючись початковою умовою обчислити (обчислити температуру на нижній основі прямокутної області).

8. Використовуючи граничні умови обчислити , де - температура на лівій межі, а - температура на правій межі.

9. Використовуючи MS Excel обчислити по явній різницевій схемі по функції (15) чи (16).

10. Обчислити розподіл температури у вузлах сітки.

Результати числових розрахунків занести в таблицю. Побудувати сімейство графіків.

Приклад: