1. Лабораторна робота №1.

Тема: Чисельне роз’язування крайової задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

Мета. Отримати різницеву схему крайової задачі Діріхле для рівняння Лапласа та навчитись її розв’язувати ітераційним методом Гаусса-Зейделя.

Завдання. Провести чисельний розрахунок стаціонарного розподілу температури внутрішніх точках пластини, який описується рівнянням Лапласа в області G .

і задовільняють граничним умовам

Розрахунки проводити з точністю . Область G має вигляд:

.

Граничні умови такі :

коли ;

коли ,

де

n – номер варіанту, h=1 – крок сітки,

- число букв прізвища.

- число букв імені студента по паспорту, помножене на 30.

Порядок виконання роботи.

1. Вивчити постановку задачі про стаціонарне поширення тепла в плоскій пластині та записати її математичну модель в диференціальній формі.

2. Записати різницеву схему даної задачі.

3. Користуючись алгоритмом ручного рахунку (див. вище ) провести чисельний розрахунок розподілу температури ітераційним методом з усередненням Лібмана з точністю .

4. Скласти блок-схему алгоритму та відповідну програму для ПЕОМ розрахунку температури.

5. Провести розрахунки на ПЕОМ з точністю до .

6. Порівняти результати ручного і машинного рахунків. Зробити висновок.

7. Оформити та захистити лабораторну роботу.

Контрольні запитання.

1. Навести приклади основних рівнянь математичної фізики та їх типових представників; фізичні процеси, які вони описують.

2. Поняття крайової задачі. Типи граничних умов, їх математичний та фізичний зміст.

3. Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу (на прикладі рівнянь Лапласа та Пуассона).

4. Суть принципу максимуму для рівнянь еліптичного типу при виборі початкового наближення.

5. Методи розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу.

6. Апроксимація похідних.

7. Різницева схема крайової задачі Діріхле для рівнянь Лапласа і Пуассона.

8. Чисельні методи розв’язування різницевих схем.

9. В чому переваги методу послідовної верхньої релаксації над ітераційним методом Якобі і Гаусса-Зейделя?

7. Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки.

1. Розв’язування крайових задач на прямокутних сітках.

Іноді сітку в (прямокутній) області G вибирають прямокутною з кроками відповідно по осях 0x i 0y . Тоді скінченно-різницева апроксимація рівняння Пуассона (6.5) чи Лапласа (у випадку, коли ) має вид:

(6.7.1)

Швидкість збіжності різницевої схеми (6.7.1), (6.8) маєпорядок . Ітераційні формули, аналогічні (6.11), (6.12) такі:

а) для методу Якобі

;

б) для методу Гауса-Зейделя.

.

2. Розв’язування крайових задач для криволінійних областей.

Якщо межа Г області G має складну геометричну форму (криволінійна) (рис 6.5),

то виникає проблема апроксимації значень функції для примежових точок. Досить часто значення примежових вузлів (які служать дискретними граничними умовами в різницевій схемі) користуються простим знесенням значень цієї функції з близьких точок межі Г .

Похибку, яка отримується в результаті такого переносу, можна значно зменшити, якщо використати інтерполяційні методи перенесення межових значень функції в найближчі до межі вузли прямокутної сітки.

4. Дуже часто користуються нерівномірною сіткою, згущуючи її по мірі потреби у вибраному напрямку. Ясно, що крок (кроки) сітки вже не буде сталим. Однак це не викликає істотних труднощів в програмі розрахунку на ЕОМ.

5. Всі рівняння в частинних похідних, які ми раніше розглядали були записані в декартовій системі координат. Однак іноді буває зручно використовувати інші системи координат (наприклад, полярну - на площи­ні, чи циліндричну - в просторі). Вибір систем часто диктується геометрією області, а також специфікою розглядуваної задачі. При цьому різницеві сітки, які використовуються можуть бути досить різноманітні (наприклад, трикутна, паралелограмна (скошена) і т.д.)

Крім того, в межах однієї і тієї ж сітки апроксимацію можна теж здійснювати по-різному, тобто вибирати різні шаблони наприклад, в ме­жах прямокутної сітки можна вибирати п’ятиточковий шаблон типу "хрест", дев’ятиточковий шаблон типу "ящик" і навіть 21—точкові шаблони типу "ящик" і т.п.

6. Зазначимо, що при чисельному розв'язуванні багатьох крайових задач математичної фізики одним з головних факторів, який ускладнює розв'язок задач, є наявність криволінійних меж розрахункової області. При чисельних розрахунках таких задач, розглянуті вище ітераційні методи перенесення граничних значень функції в найближчі до межі вузли прямокутної сітки приводять до ускладнення алгоритму розрахунку і в ряді випадків може привести до великих похибок.

Давно помічена можливість "розпрямлення" області з допомогою ві­дображень, яке поліпшує конструкцію сіткової апроксимації. Досить ак­туальним в даний час є чисельна побудова конформних і квазіконформних різницевих сіток, які отримуються в результаті чисельного конформного чи квазіконформного відображення криволінійної області на деяку модельну область (наприклад, прямокутник).

Конформні різницеві сітки є прообразами рівномірних сі­ток в прямокутній області.

Квазіконформні різницеві сітки дають можливість отримувати локаль­ні згущення ліній сітки в окремих підобластях розглядуваної області (наприклад, в підобластях великих градієнтів поля).