§5 Закон Ньютона

Часто удельный тепловой поток определяется по формуле:

- уравнение Ньютона. [Вт/м²]

- тепловая проводимость производится между рассматриваемыми т.1 и т.2.

- это количество поверхности тепла, которое проходит через 1 м поверхности за одну секунду при разности температур на границах исследуемого пр-ва в один градус. Эта величина зависит от всего комплекса физических свойств пространства и от процессов, которые протекали в этом пространстве. Задача по определению теплового потока сводится к определению коэффициента . Индекс τ при коэффициенте ξ показывает, что ξ с течением времени изменяется. Если мы не учитывали изменение ξ с изменением времени τ , то тепловую проводимость обозначают просто ξ .

Если идет теплообмен между поверхностью твердого тела и окружающей жидкостью, то вместо ξ пишут α

α - коэффициент теплопередачи ( тепловая проводимость). Δ t= t₁-t₂- температурный напор.

t₁- температура поверхности твердого тела.

t₂- температура окружающей жидкости.

К- обозначение тепловой проводимости, когда речь идет о передаче тепла между двумя жидкостями, разделенных твердой стенкой.

К – коэффициент теплопередачи.

Δ t= t₁-t₂- температурный напор.

Если речь идет о разности температур в твердом теле,то разность температур обозначается δt и называется температурным перенадом

Δt= t₁-t₂

Величина обратная тепловой проводимости, называется термическим сопротивлением.

- термическое сопротивление тела.

- термическое сопротивление теплоотдачи

- термическое сопротивление теплопередачи.

Глава 2. Математическая постановка задачи.

Мы будем стремиться к тому, чтобы определить вид температурного поля

Т= f (x, y, z, τ )

Температура Т – зависимая переменная величина.

x, y, z, τ- независимые переменные велечины.

При математической постановке задачи необходимо на базе основных законов составить уравнение или систему дифференциальных уравнений, которые в дифференциальной форме устанавливают связь между зависимыми и независимыми переменными.

Кроме этого мы должны однозначно определить задачу,т.е. записать условие однозначности. Условие однозначности необходимо для определения постоянных,которые получаются в результате интегрирования дифференциальных уравнений. Диф. уравнения или система диф. уравнений совместно с условиями однозначности представляют математическое решение задачи.

§1. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье.

Это уравнение связывает в диф. форме температуру с координатами и временем при распространениями тепла путем теплопроводности.

Выводимся это уравнение на базе двух уравнений т.е. двух основных законов закона сохранения энергии и закона Фурье.

Выделим элементарный параллелепипед и возьмем его элементарный объем.

Под элемент объемом понимается такой объем, в котором все физ. Константы по всему объему остаются постоянными во времени распределяются по линейному закону.

Этот параллелепипед пронизывается тепловым потоком и при прохождении через этот объем тепловой поток меняется на dQ:

dQ=dQ_x+dQ_y+dQ_z

Выделить изотермическую поверхность. Через единицу изотермической поверхности проходит количество тепла.

Рядом с этой поверхностью выделим еще одну изотермическую поверхность, отстоящую от первой поверхности на расстоянии δy.

δy – это путь, на котором изменяется тепловой поток на δq_y.

это изменение теплового потока на единицу длины.

изменение удельного теплового потока на длине dy.

Отсюда:

изменение теплового потока оси y.

Аналогичного:

Просуммируем эти равенства и получили:

оператор Лапласса по температуре

Тогда:

С другой стороны в соответствии с законом сохранении энергии. На величину dQ изменяется теплосодержание теплового потока dQ приводит к изменению элемента, теплосодержания тела.

Изменение теплосодержания элемента происходит под влиянием различных факторов.

- изменение теплосодержания элемента под действием изменением температур.

dQ₂ – изменение теплосодержания элемента под влиянием действия источников тепла.

Отсюда:

- изменения теплосодержания всего параллелепипеда.

- изменение температуры в единицу времени.

- изменение теплосодержания в единицу времени.

- мощность источника тепла – это количество тепла, которое выделяется в единицу объема за единицу времени.

Отсюда:

В соответствии с законом сохранения энергии, изменение теплового потока равняется изменению теплосодержания, то:

,где

Это диф. уравнение теплопроводности Фурье с источником тепла. А – коэффициент температуропроводности.

«а» характеризует теплоинерциальные свойства. Иначе «а» характеризует скорость изменения температуры около какой- либо точки.

- в декартовой системе координат.

Рассмотрим температурное поле, т.е.

- характеризует радиус кривизны,т.е. кривизну

Оператор Лапласса характеризует кривизну в данной точке.

- характеризует скорость изменения температуры в данной точке. Под влиянием кривизны температуры поля.

- характеризует скорость изменения температуры около данной точки под влиянием источника тепла.

Диф. уравнение теплопроводности Фурье – это уравнение линейное второго порядка в частичных производных.

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена.

В данном случае приходится рассматривать под действием локальных факторов.

Определим чему равна скорость изменения температуры под действием внешних факторов. За промежуток dr элемент перемещается на величину dx.

- скорость движения элемента вдоль оси x.

Чем больше ώ_x элемента, тем больше скорость изменения температуры под влиянием фактором.

определяют скорость изменения температуры под влиянием внешних факторов вдоль оси x.

конвективная составляющая скорости изменения температуры.

- субстациональная производная

локальная часть производной

- диф. уравнение Фурье – Кирхгофа.

Это уравнение справедливо, когда

В отличие от уравнения Фурье в уравнении Фурье – Кирхгофа входят две неизвестные величины: температура t и скорость движения элемента ώ.