§8. Доверительная вероятность. Доверительный интервал

 Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

При выборе малого объема точечная оценка значительно отличается от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В этом случае применяют интервальную оценку.

Пусть оценка неизвестного параметра θ (θ – постоянное число).

Оценка тем точнее, чем меньше число δ в неравенстве .

Число δ характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически подтверждать, что удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности, с которой осуществимо это неравенство.

 Определение. Доверительной вероятностью (надёжностью) оценки по называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство .

Р() = γ. (8)

Обычно в качестве доверительной вероятности γ выбирают γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Преобразуем (8):

Р() = γ. (9)

Равенство (9) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра попадет в интервал

(10)

Ранее рассматривали вероятность попадания случайных величин в заданный интервал.

В данном случае величина не случайна (  число, хотя и неизвестное), зато случаен интервал (10), случайно его положение на оси абсцисс, определяемое центром , случайна длина.

Поэтому γ – не вероятность попадания точки  в интервале (10), а вероятность того, что случайный интервал (10) накроет точку  .



 Определение. Доверительным называют интервал , который накрывает параметр с заданной доверительной вероятностью γ.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при известном σ

(σ – среднее квадратное отклонение)

Дано: Количественный параметр Х генеральной совокупности распределен нормально.

 плотность.

Математическое ожидание a – неизвестно.

Среднее квадратическое отклонение – известно.

Требуется: оценить а по средней выборочной .

Данные выборки и среднее выборочное будем рассматривать как случайные величины и , одинаково распределённые с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением .

,

; .

Пусть выполняется Р( )= γ, где γ – заданная вероятность.

Из курса теории вероятностей известна формула: Р( ) = . Заменим X на , на .

Р( ) = = , где .

Тогда . Следовательно, Р( )= .

Вернемся к обозначению как . Получим

Р( .

Итак, с достоверной вероятностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a. Точность оценки . Число t определяется из равенства , или .

При заданной доверительной вероятности по таблице функции Лапласа (табл. 2) находят значение t.

Пример 10. Количественный параметр X распределен нормально, . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочной средней , если объем выборки n = 36 и доверительная вероятность = 0,95.

Решение.

; .

– доверительный интервал.

Если, например, , то (3,12; 5,08).

Смысл результата: если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяют такие доверительные интервалы, в которых неизвестное математическое ожидание а действительно заключено. Лишь в 5% случаев а может выйти за границы доверительного интервала.

Вычисление объема выборки при заданных и

Пусть требуется оценить математическое ожидание, если заданы доверительная вероятность и точность оценки .

Точность оценки . Тогда .

Значит, – минимальный объем выборки, который обеспечит заданную точность .

Замечание. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

X – количественный признак, распределён нормально. a, – неизвестны.

Требуется оценить a .

Можно доказать, что  доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с доверительной вероятностью , где – выборочная средняя; – исправленное среднее квадратическое отклонение; – квантиль распределения, который находят по таблице 3 по заданным и .