§6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии

 Определение. Генеральной дисперсией D_Г называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака Х генеральной совокупности от его среднего значения .

Если различны, то , где N – объём выборки.

Если имеют частоты , то .

 Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют .

 Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если различны, то .

Если имеют частоты , то .

Замечание. При решении практических задач выборочную дисперсию удобнее находить по следующей формуле:

(3)

 Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением называют .

Задача. По данным выборки найти оценку для неизвестной D_Г.

Если в качестве оценки для _DГ взять D_В, то эта оценка является смещённой, а именно

(без доказательства). (4)

Значит, эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам (давая заниженное значение генеральной дисперсии).

Для получения несмещенной оценки исправим выборочную дисперсию, умножив её на .

 Определение. Исправленной (эмпирической) дисперсией называется

. (5)

Значит,

, или ,

где – несмещённая оценка генеральной дисперсии D_Г.

Действительно,

Можно доказать, что – состоятельная оценка D_Г, а значит также состоятельная оценка D_Г (т.к. множитель при ).

Замечание. При больших значениях n обе оценки и различаются мало и введение поправочного коэффициента теряет смысл.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение . не является несмещённой оценкой _Г.

 Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Рассмотренные оценки являются точечными.

Пример 9. Выборка задана следующим ДCР. Найти смещённую и исправленную оценку для дисперсии.

xi	-2	-1	0	1	2
ni	10	20	40	20	10

Решение. Предварительно найдем для каждой варианты соответствующую относительную частоту и результаты внесем в таблицу. Объём выборки n = 100.

xi	-2	-1	0	1	2
ni	10	20	40	20	10
wi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найдем смещённую оценку генеральной дисперсии – воспользуемся формулой (3): .

Выборочную среднюю найдем по формуле (2): . Отсюда, .

Несмещённую оценку генеральной дисперсии найдем по формуле (5): .