
- •Математическая статистика теория и практика
- •220301, 230104, 230201 Очной формы обучения
- •Издательство
- •§1. Задачи математической статистики
- •§2. Генеральная и выборочная совокупность. Репрезентативность выборки. Способы отбора (способы организации выборки)
- •§3. Статистическое распределение выборки. Графическое представление распределений
- •Эмпирическая функция распределения
- •§4. Статистические оценки параметров распределения
- •§5. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней
- •§6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии
- •§8. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •Доверительный интервал для оценки математического ожидания
- •§ 10. Понятие о корреляционном и регрессивном анализе
§5. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней
Пусть требуется изучить генеральную совокупность относительно количественного признака X.
[Распределение признака и в генеральной, и в выборочной совокупности будем считать дискретными, т.к. от непрерывных распределений всегда можно перейти к дискретным.]
Определение.
Генеральной средней
называют среднее арифметическое значений
признака X
генеральной совокупности.
Если
значения
различны, то
.
Поскольку
исследуемый признак X
можно рассматривать как случайную
величину, возможные значения которой
имеют одинаковую вероятность
(вероятность извлечь объект со значением
равна
),
то
Итак,
.
(1)
Если
значения
имеют соответственно частоты
,
причем
,
то
Формула (1) остается справедливой и в этом случае.
Замечание. Все рассуждения были приведены, когда X дискретная случайная величина.
При непрерывном распределении признака X по определению полагают .
Для изучения генеральной совокупности относительно признака X извлекается выборка объёма n.
Определение.
Выборочной средней
называют
среднее арифметическое значений признака
выборочной совокупности.
Если
различны, то
Если
имеют соответственно частоты
,
причём
,
то
(2)
Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть число. Если извлекать из этой генеральной совокупности другие выборки того же объекта, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.
Задача.
Пусть из генеральной совокупности
извлечена повторная выборка объема n
со значениями признака
(будем считать их различными). Генеральная
средняя
неизвестна.
Требуется оценить
по данным выборки. Выборочную
среднюю принимают в качестве оценки
генеральной средней.
– оценка
.
Будем
рассматривать
как
случайную величину
;
как независимая одинаково распределенные
величины
,
имеющие то же распределение, что и X.
Докажем, что средняя выборочная – несмещённая оценка генеральной средней, т.е. .
имеют
то же распределение, что и X.
Обозначим
,
следовательно,
,
.
Тогда
, следовательно, , что и требовалось доказать.
Докажем, что выборочная средняя состоятельная оценка генеральной средней.
Предположим, что Х1, Х2, …, Хn имеют ограниченные дисперсии. Тогда согласно частному случаю теореме Чебышёва
или
,что
и требовалось доказать.
Итак,
–
несмещённая состоятельная оценка
.
Замечания.
Выборочные средние, найденные по нескольким выборкам достаточно большого объёма из некоторой генеральной совокупности, приближенно равны между собой.
Предполагали, что выборка повторная. Однако полученные выводы применимы и для бесповторной выборки, если её объём значительно меньше объема генеральной совокупности.
Эффективность или неэффективность зависит от вида закона распределения признака X. Если X распределена по нормальному закону, то
будет минимально возможной, т.е. средняя выборочная является эффективной оценкой.