3.3 Контрольные вопросы
3.3.1 Назвать и пояснить основные топологические понятия, которые используются в теории цепей.
Изобразить четыре дерева графа схемы, приведенной на рисунке 2.7.
3.3.3 Сформулировать задачу анализа электрических цепей. Назвать основные методы анализа цепей.
Какие преобразования схем называются эквивалентными?
Какое объединение элементов называется последовательным, параллельным, смешанным?
Сформулировать условия эквивалентности реальных источников напряжения и тока.
Методические рекомендации.
Используя знания, полученные при изучении подразделов 3.1 и 3.2, решите нижеприведенные задачи и запишите их в тетрадь.
3.4 Контрольные задачи
3.4.1 При
последовательном соединении двух
сопротивлений общее сопротивление
составляет
Ом, а при параллельном -
:
Ом. Найти величины этих сопротивлений.
(Ответ:
Ом;
Ом)
Рассчитать токи в ветвях схемы ( рисунок 3.3 ), если параметры схемы таковы:
;
;
;
.
(Ответ:
;
;
;
;
)
3.4.3
Пользуясь методом эквивалентных
преобразований, определите токи в цепях,
схемы (рисунок 2.7). Известно, что
,
,
.
(Ответ :
;
;
)
3.4.4 Для цепей схемы (рисунок 2.7) определить количество уравнений по первому и второму закону Кирхгофа, которые необходимо составить для анализа схемы методом уравнений Кирхгофа.
(Ответ: 3;3)
3.5 Методы контурных токов и узловых напряжений
Для разветвленных электрических схем метод уравнений Кирхгофа приводит к необходимости решения большого количества уравнений. Уменьшить количество уравнений анализа электрических цепей, отдельно метод контурных токов и узловых напряжений.
3.5.1 Метод контурных токов
С помощью метода
контурных токов анализируют цепи, решая
не
уравнений (количество ветвей), а
(количество
независимых контуров) для схем, которые
содержат идеальные и реальные источники
напряжения (рисунок 2.5 и рисунок
3.7 соответственно). В схемах с источниками
тока последние следует заменить
эквивалентной схемой (рисунок 3.9).
Рассмотрим этот метод на
примере схемы ( рисунок 3.11). Пронумеруем
узлы и обозначим число независимых
контуров:
.
Выберем для анализа независимые контуры
.
Зададим приблизительно направление
тока в ветвях и направление обхода
контуров.
Рисунок 3.11 Схема соединения сопротивлений и источников ЭДС
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для первого контура:
Выразим токи «внутренних»
ветвей
через токи «внешних» цепей
.
По первому закону Кирхгофа для узлов
и
запишем:
;
,
откуда
;
.
Тогда уравнение для первого контура примет вид:
.
Сгруппировав слагаемые с одинаковыми членами, получим:
.
(3.10)
Введем понятия контурных
токов, контурных ЭДС и сопротивлений.
Контурный ток
– ток в главной ветви, номер которой
совпадает с номером контура и которая
является внешней
.
Другими словами, это токи внешних ветвей, которые как бы соединяются в соответствующих контурах. Для удобства будем считать, что направление контурного тока совпадает с направлением обхода соответствующего контура. В общем, контурные токи – это условные величины, но иногда они могут совпадать с токами ветвей схемы.
Контурная ЭДС
-го
контура
равна алгебраической сумме всех ЭДС,
которые входят в этот контур. Для
рассмотренного примера:
; 
; 
.
Собственное сопротивление
-го
контура
равно сумме всех сопротивлений, которые
образуют этот контур:
; 
; 
.
Взаимное сопротивление
-го
и
-го
контуров
равно сопротивлению ветви, которая
входит в эти контура, со знаком “плюс”,
если направления контурных токов в ней
совпадают и со знаком “минус”, если
они противоположны. Для схемы (рисунок
3.11) имеем:
; 
; 
.
С учетом введенных обозначений, уравнение (3.10) будет таким:
Записав аналогично уравнения для второго и третьего контуров, получим систему уравнений, из которой можно определить любой контурный ток:
(3.11)
или в матричной форме:
(3.12)
где
–
квадратная симметричная матрица
сопротивлений, число столбцов и строк
которой равно
;
–
матрицы – столбцы контурных токов и
Э.Д.С. соответственно.
Также МКТ позволяет
решить задачу анализа схемы с числом
уравнений
.
Найдем из (3.2) первый контурный ток.
.
где
– обозначение и алгебраическое дополнение
матрицы резисторов.
Аналогично можно найти любой ( – й) контурный ток в схеме:
,
(3.13)
где
–
количество независимых
контуров;
;
;
– обозначения и алгебраические
дополнения матрицы резисторов;
–
элемент матрицы - столбца контурных
Э.Д.С.
Токи внутренних ветвей
записываются как линейная комбинация
контурных токов. Для схемы ( рисунок )
;
;
.