1.8. Пример решения первой задачи динамики точки в декартовой системе отсчета

Условие задачи.

Под действием горизонтальной силы F₁ движение материальной точки массой m = 8 кг происходит по гладкой горизонтальной плоскости OXY согласно уравнениям x = 0,05t³, y = 0,3t². Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент времени t₁ = 4 с.

Решение.

1. В

   

   Рис. 1.5

   ыбираем систему отсчета ОXY (рис. 1.5).

2. Изобразим точку на траектории ее движения в произвольный момент времени. Согласно известным положениям кинематики скорость V точки направлена по касательной к траектории движения, а ее ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории движения.

3. Так как начальные условия движения точки не заданы, то на рис. 1.5 они не показаны.

4. Согласно условию задачи к точке приложены активные силы F₁ и G. Так как поверхность, по которой перемещается точка, гладкая, на точку действует только нормальная реакция N. Основное уравнение динамики для рассматриваемой задачи имеет вид ma = ΣF_i + ΣR_i = G + F₁ + N. Поскольку рис. 1.5 приведен в ортогональной проекции, то сила тяжести G и нормальная реакция N не показаны.

5. Запишем дифференциальные уравнения движения точки.

m = ΣF_iоx+ ΣR_iоx = F_1оx = Р_ох; (1)

m = ΣF_iоy+ ΣR_iоy = F_1оy = Р_оу; (2)

m = ΣF_iоz+ ΣR_iоz = F_1оz = P_oz. (3)

6. По заданным уравнениям движения x = 0,05t³, y = 0,3t² определим проекции , , _{ускорения точки} на координатные оси: = 0,3t; = 0,6 м/с²; =0.

7. Найденные значения , , подставим в уравнения (1),(2), (3).

m(0,3t)=F_1оx = Р_ох; (1¹)

m(0,6) = F_1оy = Р_оу; (2¹)

m(0) = F_1оz = Р_oz = 0. (3¹)

8. Определим модуль Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей.

= .

9. Вычислим значения F_1оx, F_1оy, P для момента времени t₁= 4 c.

F_1оx = 0,3mt₁ = 0,3·8·4 = 9,6 H;

F_1оy = 0,6m = 0,6·8 = 4,8 H;

= 10,733 H.

1. Определим направляющие косинусы и углы, составленные направлениями координатных осей и силой.

cos(P, i) = F_1ox/P = 9,6/10,733 = 0,894; α = 26,563^о;

cos(P, j) = F_1oy/P = 4,8/10,733 = 0,447; β = 63,434^о.

11. Определим координаты точки на траектории ее движения в момент времени t₁, и полученную информацию отобразим на рис. 1.6: x(t₁) = 0,05·4³ = 3,2 м; y(t₁) = 0,3·4² = 2,4 м.

Т

Рис. 1.6

аким образом, задача решена, ответы на поставленные вопросы получены.

1.9. Алгоритм решения первых задач динамики точки в естественных координатных осях

В первой задаче динамики точки известно уравнение s = f(t) движения точки в естественных координатных осях. Могут быть заданы начальные условия движения, к которым относятся дуговая координата s₀ и скорость V₀ в момент времени t₀ = 0. При естественном способе задания движения точки известно следующее: вид траектории движения; начало отсчета дуговой координаты s; положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчета дуговой координаты.

Алгоритм решения первых задач динамики в естественных координатных осях представляет собой следующую совокупность действий исполнителя.

1. Изображается известная траектория движения точки. На этой траектории наносятся начало отсчета (О), положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчета дуговой координаты s.

2. Точка изображается на траектории движения в произвольный момент времени. При этом точка имеет координату s > 0 и движется в сторону ее увеличения ускоренно.

3. В эту точку помещается начало координат ПСО, которая представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей: касательная, главная нормаль, бинормаль. При этом единичный вектор τ всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты s. Единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения точки.

4. По данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (s₀, V₀).

5. К точке прикладывают активные силы F_i и реакции R_i внешних связей.

6. Записывают дифференциальные уравнения движения точки, которые имеют следующий вид:

m = ΣF_iτ + ΣR_iτ; m ²/ρ = ΣF_in + ΣR_in; ΣF_ib + ΣR_ib = 0.

7. По заданному уравнению движения s = f(t) определяют проекцию скорости и проекцию ускорения точки на касательную.

8. Определенные проекции , подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

9. Определяют проекции P_τ, P_n равнодействующей активных сил F_i и реакций R_i внешних связей на координатные оси ПСО. Для этого необходимо решить следующие уравнения:

P_τ = m = ΣF_iτ + ΣR_iτ; (1)

P_n = m ²/ρ = ΣF_in + ΣR_in; (2)

ΣF_ib + ΣR_ib = 0. (3)

10. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил F_i и реакций R_i внешних связей, действующих на точку.

.

10. Для ориентации вектора Р в пространстве определяют направляющие косинусы.

cos(P, τ) = P_τ/P; cos(P, n) = P_n/P.

10. По величине значений направляющих косинусов находят значения углов, составленных направлениями координатных осей ПСО и силой Р.

11. Равнодействующую Р активных сил F_i и реакций R_i внешних связей изображают на рисунке, иллюстрирующем результаты расчетов. Необходимо отметить, что сила Р лежит в соприкасающейся плоскости так же, как и ускорение a точки.