1.6. Задачи динамики точки

В общем случае все задачи динамики точки подразделяют на прямые (первые) и обратные (вторые).

Суть первой задачи динамики точки заключается в следующем: известна масса m точки и ее уравнения движения, требуется определить модуль и направление равнодействующей активных сил и реакций внешних связей, действующих на точку.

Вторая задача динамики заключается в следующем: зная силы, действующие на точку, ее массу, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, требуется определить уравнения движения точки.

Первая и вторая задачи динамики решаются по соответствующим алгоритмам.

1.7. Алгоритм решения первых задач динамики точки в декартовой системе отсчета

В первой задаче динамики известны уравнения движения точки: x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t) и начальные условия этого движения. К начальным условиям движения точки отнесены: положение точки, характеризуемое координатами x₀, y₀, z₀ в момент времени t₀ = 0; проекции , , начальной скорости V₀ при t₀ = 0.

Алгоритм решения первых задач динамики предписывает четко определенную последовательность действий исполнителя, которая приведена ниже.

1. Выбирают инерциальную систему отсчета ОXYZ.

2. В системе отсчета ОXYZ точку изображают в произвольный момент времени. При этом точка должна иметь координаты, значения которых больше нуля. Предполагают также, что точка движется в сторону возрастания координат ускоренно.

3. По исходным данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (x₀, y₀, z₀, , , ).

4. К точке прикладывают активные силы F_i и реакции R_i внешних связей.

5. Записывают соответствующие выбранной системе отсчета ОXYZ дифференциальные уравнения движения:

ΣF_iоx + ΣR_iоx;

= ΣF_iоy + ΣR_iоy;

= ΣF_iоz + ΣR_iоz ,

где , , – проекции ускорения a на координатные оси; ΣF_iоx, ΣF_iоy, ΣF_iоz – суммы проекций активных сил F_i на соответствующие координатные оси ИСО; ΣR_iоx, ΣR_iоy, ΣR_iоz – суммы проекций реакций R_i внешних связей на оси ИСО.

6. По заданным уравнениям движения x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t) определяют проекции , , ускорения a точки на координатные оси.

7. Найденные проекции , , ускорения подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

8. Определяют проекции P_ox, P_oy, P_oz равнодействующей активных сил F_i и реакций R_i внешних связей на координатные оси:

P_ох = ΣF_iоx + ΣR_iоx;

P_оу = = ΣF_iоy + ΣR_iоy;

P_oz = = ΣF_ioz + ΣR_ioz.

9. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил F_i и реакций R_i внешних связей, действующих на точку:

.

10. Для ориентации вектора Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей в пространстве определяют направляющие косинусы:

cos(P, i) = P_ox/P; cos(P, j) = P_oy/P; cos(P, k) = P_oz/P.

11. По величине значений направляющих косинусов находят величины углов, составленных направлениями координатных осей системы отсчета и направлением силы Р.

12. Равнодействующую Р активных сил F_i и реакций R_i внешних связей, действующих на точку, изображают на чертеже. Необходимо еще раз отметить, что ускорение a точки направлено так же, как и сила Р.