1.4. Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в декартовой системе отсчета

Р

Рис. 1.2

ассмотрим движение несвободной материальной точки под действием активных сил F_i и реакций R_i внешних связей в инерциальной системе отсчета OXYZ (рис. 1.2).

Для обозначения инерциальной системы отсчета использована аббревиатура ИСО.

Три уравнения: x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t) являются уравнениями движения точки в ИСО. Для рассматриваемой точки основное уравнение динамики имеет вид

ma = P = ΣF_i + ΣR_i.

Спроецируем обе части последнего векторного равенства на координатные оси ИСО:

ΣF_iоx + ΣR_iоx; = ΣF_iоy + ΣR_iоy; = ΣF_iоz + ΣR_iоz,

где – проекции ускорения a на координатные оси; ΣF_iоx, ΣF_iоy, ΣF_iоz – суммы проекций активных сил F_i на соответствующие координатные оси ИСО; ΣR_iоx, ΣR_iоy, ΣR_iоz – суммы проекций реакций R_i внешних связей на оси ИСО.

Произведение массы m точки и проекции ее ускорения a на координатную ось инерциальной системы отсчета OXYZ равно сумме проекций активных сил F_i и реакций R_i внешних связей на ту же ось.

Последние уравнения называют дифференциальными уравнениями движения несвободной материальной точки в декартовой инерциальной системе отсчета.

1.5. Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях

Естественные координатные оси – прямоугольная система осей с началом в движущейся точке, направленных соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к траектории этой точки.

Из известного студентам курса кинематики уравнение движения точки в естественных координатных осях имеет вид s = f(t), где s – дуговая координата.

Рассмотрим движение несвободной материальной точки под действием активных сил F_i и реакций R_i внешних связей в естественных координатных осях (касательная, главная нормаль, бинормаль). Для понимания излагаемого материала напомним некоторые положения, относящиеся к этому движению.

Как это отмечалось ранее, естественными координатными осями называют три взаимно-перпендикулярные оси: касательная (единичный вектор τ всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты s); главная нормаль (единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения); бинормаль (единичный вектор b перпендикулярен векторам τ и n и направлен так же, как и вектор k по отношению к векторам i, j в правой декартовой системе отсчета OXYZ) (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Начало естественных координатных осей всегда располагается на траектории в месте положения точки и, следовательно, перемещается вместе с точкой.

Таким образом, естественные координатные оси образуют подвижную систему отсчета (ПСО).

И

Рис. 1.4

так, рассматривается движение точки массой m в ПСО под действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 1.4). Уравнение движения точки s = f(t) задано.

Из курса кинематики известно векторное выражение

a = a_τ + a_n ,

где a – вектор ускорения точки; a_τ – вектор касательного ускорения; a_n – вектор нормального ускорения.

Спроецируем основное уравнение динамики ma = ΣF_i + ΣR_i на координатные оси подвижной системы отсчета:

ma_τ = ΣF_iτ + ΣR_iτ; ma_n = ΣF_in + ΣR_in; ma_b = ΣF_ib + ΣR_ib,

где a_τ, a_n, a_b – проекции ускорения a соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль; ΣF_iτ, F_in, ΣF_ib – суммы проекций активных сил на оси ПСО; ΣR_iτ, ΣR_in, ΣR_ib – суммы проекций реакций внешних связей на оси ПСО.

Известно также, что a_τ = d₂s/dt² = ; a_n = /ρ = V²/ρ, где ρ – радиус кривизны траектории точки. При этом a_b = 0, так как вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и на бинормаль не проецируется. С учетом изложенного выше последние математические выражения приобретают вид:

m = ΣF_iτ + ΣR_iτ; m ²/ρ = ΣF_in + ΣR_in; ΣF_ib + ΣR_ib = 0.

Произведения массы m точки и проекций ее ускорения a на координатные оси ПСО равны сумме проекций активных сил F_i и реакций R_i внешних связей на те же оси ПСО.

Последние математические выражения называют дифференциальными уравнениями движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях.

ПРИМЕЧАНИЕ. Дифференциальными уравнениями движения в естественных координатных осях удобно пользоваться тогда, когда точно известен вид траектории движения. В этом случае решение задачи существенно упрощается.