6.4.3. Пример выполнения курсового задания д 8

Д

Рис. 6.25

ля заданной механической системы (рис. 6.25) определить ускорение груза 1 при его опускании.

Дано: G₁ = 8G; G₂ = 4G; G₃ = 2G; f₃ = 0,1; i_2x = 0,1 м; f₄ = 0,1; α = 30⁰; b = 0,5 м; d = 0,4 м; r₂ = 0,2 м; R₂ = 0,5 м, где G₁, G₂, G₃ – вес соответствующих тел механической системы; f₃ – коэффициент трения скольжения тела 3 при его движении по шероховатой поверхности; f₄ – коэффициент трения скольжения между телами 2 и 4; i_2x – радиус инерции тела 2 относительно оси, проходящей через его центр масс; α, b, d, r₂, R₂ – геометрические параметры. Механическая система начинает движение из состояния покоя.

Решение.

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3 (рис. 6.26), предположив, что груз 1 опускается ускоренно.

Согласно общему уравнению динамики механическая система совершает движение под действием активных сил: G₁, G₂, G₃ – силы тяжести тел 1, 2, 3; F₃ – сила трения при движении груза 3 по шероховатой поверхности; F_4-2 – сила трения при скольжении цилиндрической поверхности тела 2 по тормозной колодке тела 4 и инерционных нагрузок: Ф₁, Ф₃ – силы инерции тел 1, 3; – момент сил инерции при вращении тела 2 относительно оси С₂Х₂.

Как это отмечалось ранее, при наличии неидеальных связей, наложенных на механическую систему, эти связи необходимо преобразовать в идеальные путем переноса сил трения в разряд активных сил.

X₂

Д

Рис. 6.26

ля определения силы трения F_4-2 механическую систему, показанную на рис. 6.25, расчленим по внутренней связи и рассмотрим равновесие рычага 4 (рис. 6.27).

Рис. 6.27

На тело 4 действуют: активная сила Р; реакции Y_A, Z_A внешней связи в точке А (шарнирно-неподвижная опора); реакции N_2-4, F_2-4 внутренней связи. Направления сил N_2-4, F_2-4 показывают, как тело 2 действует на тело 4. Составим уравнение равновесия.

ΣM_iA = N_2-4·b – P·d = 0.

Из этого уравнения определим нормальную реакцию

N_2-4 = P(d/b) = G(d/b).

Согласно закону сухого трения (закону Кулона) сила трения F_2-4 связана с нормальной реакцией N_2-4 соотношением

F_2-4 = f₄·N_2-4 = f₄G(d/b).

По известному закону динамики (закон равенства действия и противодействия) имеем

F_4-2 = F_2-4 = f₄G(d/b).

Таким образом, сила F_4-2 трения, приложенная к телу 2 со стороны тела 4 (см. рис. 6.26), определена.

Д

Рис. 6.28

ля определения силы F₃ трения рассмотрим поступательное движение груза 3 (рис. 6.28) в инерциальной системе отсчета O₃Y₃X₃. Используя известные положения динамики, примем груз 3 за материальную точку.

На рис. 6.28 использованы условные обозначения: N₃ – нормальная реакция шероховатой поверхности; V_c3, a_c3 – соответственно скорость и ускорение центра масс тела 3.

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения тела 3.

m = – G₃cosα + N₃,

где – проекция ускорения a_c3 на координатную ось O₃Y₃.

Так как = 0, то получим

N₃ = G₃cosα.

Тогда имеем

F₃ = f₃N₃ = f₃G₃cosα = f₃2Gcosα.

Таким образом, сила трения F₃ определена.

Вернемся к рис. 6.26. Зададим возможное перемещение δS_c1 центру масс тела 1. При этом тело 2 получит возможное угловое перемещение δφ₂ = δS_c1/R₂, а центр С₃ масс тела 3 получит возможное линейное перемещение δS_c3 = δS_c1(r₂/R₂). Двойным дифференцированием по времени возможных перемещений δφ₂, δS_c3 определим угловое ускорение ε₂ тела 2 и ускорение a_c3 центра масс тела 3.

ε₂ = a_c1/R₂; a_c3 = a_c1(r₂/R₂).

К рассматриваемой механической системе приложим активные силы G₁, G₂, G₃, F₃, F_4-2 и инерционные нагрузки Ф₁, Ф₂, .

Модули сил инерции Ф₁, Ф₃ и момента сил инерции определяют по формулам:

Ф₁ = m₁a_c1 = (G₁/g)a_c1 = (8G/g)a_c1;

Ф₃ = m₁a_c3 = (G₃/g)a_c3 = (2G/g)a_c1(r₂/R₂);

= J_c2x2ε₂ = m₂(i_2x)²ε₂ = (G₂/g)(i_2x)²ε₂ = (4G/g)(i_2x)²(a_c1/R₂).

Запишем общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы:

Σ ·δS_ci·cos( , δS_ci) + ΣФ_i·δS_ci·cos(Ф_i, δS_ci) = 0.

Определим первое слагаемое правой части этого уравнения.

Σ ·δS_ci·cos( , δS_ci) =

= G₁·δS_c1 – F_4-2·δS_c1 – G₃· δS_c3sinα – F₃·δS_c3 =

= 8G·δS_c1 – f₄G(d/b)·δS_c1 – 2G·δS_c1(r₂/R₂)sinα –

– f₃2Gcosα·δS_c1(r₂/R₂) =

= G(8 – f₄(d/b) – 2(r₂/R₂)sinα – f₃2Gcosα(r₂/R₂))δS_c1.

Определим второе слагаемое правой части общего уравнения динамики:

ΣФ_i·δS_ci·cos(Ф_i, δS_ci) = – Ф₁ δS_c1 – ·δφ₂ – Ф₃ δS_c3 =

= – (8G/g) a_c1 δS_ci – (4G/g)(i_2x)²(a_c1/R₂)(δS_ci/R₂) –

– (2G/g)a_c1(r₂/R₂) δS_ci(r₂/R₂) =

= – (G/g)(8 + 4(i_2x/R₂)² + 2(r₂/R₂)²)a_c1δS_ci.

Внося эти слагаемые в общее уравнение динамики, получим

G(8 – f₄(d/b) – 2(r₂/R₂)sinα – f₃2Gcosα(r₂/R₂))δS_c1 –

– (G/g)(8 + 4(i_2x/R₂)² + 2(r₂/R₂)²)a_c1δS_ci = 0.

Отсюда определим ускорение a_c1:

a_c1 = g(8 – f₄(d/b) – 2(r₂/R₂)sinα – f₃2cosα(r₂/R₂))/

/(8 + 4(i_2x/R₂)² + 2(r₂/R₂)²) =

= 9,81(8 – 0,1(0,4/0,5) – 2(0,2/0,5)0,5 – 0,1·2·0,866(0,2/0,5))/

/(8 + 4(0,1/0,5)² + 2(0,2/0,5)²) = 9,584 м/с².

Таким образом, ответ на вопрос (a_c1 =?), поставленный в курсовом задании Д 8, получен.