5.6.3. Приведение сил инерции точек твердого

тела к простейшему виду

В данном учебно-методическом пособии рассматриваются неизменяемые механические системы, в которые входят тела, осуществляющие следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное.

При поступательном движении силы инерции материальных точек приводятся к главному вектору Ф^* сил инерции, который прикладывается в центре масс твердого тела (рис. 5.35) и определяется по формуле

Ф

Рис. 5.35

^* = – ma_c.

Согласно рис. 5.35 главный вектор сил инерции Ф^* направлен в сторону, противоположную ускорению a_c. Модуль главного вектора сил инерции определяется по формуле Ф^* = ma_c.

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно оси ОХ, которая не проходит через его центр масс (рис. 5.36).

Согласно положениям кинематики имеем векторное равенство

a_c = + ,

г

Рис. 5.36

де a_c – ускорение центра масс; – центростремительное ускорение центра масс; – вращательное ускорение центра масс.

В рассматриваемом случае силы инерции материальных точек тела приводятся к главному вектору Ф^* сил инерции и главному векторному моменту , определяемым по формулам:

Ф^* = Ф^ω + Ф^ε;

= – J_cx1ε,

где Ф^ω = – m – центробежная сила инерции; Ф^ε = – m – вращательная сила инерции; J_cx1 – момент инерции тела относительно оси СХ₁, проходящей через центр масс; ε – вектор углового ускорения.

Направления сил инерции Ф^ω, Ф^ε показаны на рис. 5.36. Модули составляющих Ф^ω, Ф^ε главного вектора Ф^* сил инерции и приведенного момента сил инерции определяют по формулам:

Ф^ω = m(ω²·CO); Ф^ε = m(ε·CO); = М^Φ = J_cx1ε,

где m, ω, ε – соответственно масса, угловая скорость и угловое ускорение тела; СО – расстояние от центра масс до оси вращения.

В инженерной практике наиболее часто используется вариант, в котором центробежная и вращательная силы инерции прикладываются в центре масс (см. рис. 5.36). Этот вариант и рекомендуется для дальнейшего использования как основной вариант.

Для общего ознакомления приведем и другие варианты приложения сил инерции.

Рассмотрим вариант вращательного движения твердого тела, при котором силы инерции Ф^ω, Ф^ε прикладываются на оси вращения (рис. 5.37).

Рис. 5.37

В этом случае модули искомых инерциальных нагрузок определяются по формулам:

Ф^ω = m(ω²·CO); Ф^ε = m(ε·CO); = М^Φ = J_оxε,

где J_оx – момент инерции тела относительно оси вращения.

Рассмотрим вариант вращательного движения твердого тела (рис. 5.38), при котором Ф^ω = m(ω²·CO); Ф^ε = m(ε·CO); = М^Φ = 0.

В этом случае центробежную и вращательную силы инерции прикладывают в точке О₁, а расстояние ОО₁ определяют по формуле

ОО₁ = J_ох/(m·CO),

где J_ох – момент инерции тела относительно оси вращения.

Рис. 5.38

В

Рис. 5.39

инженерной практике широкое распространение имеет вариант, при котором ось вращения тела проходит через его центр масс (рис. 5.39).

В рассматриваемом случае силы инерции материальных точек твердого тела приводятся к моменту М^Ф сил инерции.

М^Ф = J_сxε.

Определим и покажем на рис. 5.40 главный вектор Ф^* сил инерции и момент М^Ф сил инерции при плоскопараллельном движении твердого тела.

Рис. 5.40

При таком движении твердого тела имеем:

Ф^* = ma_c; М^Ф = J_сzε,

где J_сz – момент инерции тела относительно оси CZ вращения, проходящей через центр масс.

Для закрепления изложенного материала студентам рекомендуется выполнить курсовое задание Д 5.