5.5.2. Кинетическая энергия механической системы
В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек.
1. Механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения.
2. Механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.).
Каждый из этих случаев преобразования механического движения имеет свои измерители как механического движения, так и действия силы.
Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки K = mV или механической системы K = mVс. Мерой действия силы в этом случае является вектор S импульса силы.
Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы.
Кинетическая энергия материальной точки – скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости движения.
Кинетическую энергию Т точки определяют по формуле
T = mV2/2.
Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.
Р
Рис. 5.24
На рис. 5.24 использованы следующие обозначения: mi, Vci – соответственно масса и скорость центра масс i-й точки механической системы; m, Vc – масса и скорость центра масс механической системы.
Кинетическая энергия системы – величина, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек механической системы.
Кинетическую энергию механической системы Тs определяют по формуле
Тs = Σ Тi,
где Тi – кинетическая энергия i-й точки механической системы.
Тела, входящие в механическую систему, осуществляют следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное. Определим кинетические энергии тел, находящихся в этих движениях.
Р
Рис. 5.25
Кинетическую энергию тела при таком движении определяют по формуле
T = m(Vc)2/2,
где Vc – скорость центра С масс тела.
Кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное движение, равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.
При вращательных движениях тел (рис. 5.26) относительно различных осей (OX, OY, ОZ) кинетическую энергию определяют по формулам:
T = Joxω2/2; T = Joyω2/2; T = Jozω2/2,
где Jox, Joy, Joz – соответственно моменты инерции относительно осей вращения OX, OY, OZ; ω – угловая скорость вращения.
Рис. 5.26
Кинетическая энергия твердого тела, совершающего вращательное движение, равна половине произведения его момента инерции относительно соответствующей оси на квадрат угловой скорости.
К
Рис. 5.27
Исходя из изложенного, кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении определяют по формуле
T = m(Vc)2/2 + Jcz1ω2/2,
где Jcz1 – момент инерции тела относительно оси CZ1, проходящей через его центр масс.
Зависимость между изменением кинетической энергии неизменяемой механической системы и работой приложенных к ее точкам сил на некотором перемещении определяется формулой
Тsk
– Тsn
= Σ
,
где Тsk – кинетическая энергия механической системы в конечном положении;Тsn – кинетическая энергия механической системы в исходном положении; Σ – сумма работ внешних сил (активных сил и реакций внешних связей) на перемещении механической системы из начального положения в конечное положение.
Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы.
Изменение кинетической энергии неизменяемой механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, приложенных к системе, на этом же перемещении.
Для закрепления изложенного теоретического материала учебным планом рекомендуется выполнить курсовое задание Д 4.