Вопросы и задания для самоконтроля

1. Записать дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела в пространстве.

2. Записать дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно вертикальной оси.

3. Записать дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

5.5. Теорема об изменении кинетической энергии

5.5.1. Работа силы на перемещении точки ее приложения

Р

Рис. 5.19

ассмотрим прямолинейное перемещение точки на горизонтальной плоскости OXY из положения М₁ в положение М₂, происходящее под действием постоянной силы F (рис. 5.19).

Работой A(F) постоянной силы на прямолинейном перемещении точки ее приложения называется скалярное произведение вектора силы F на вектор U перемещения ее точки приложения.

A(F) = F·U = F·U·cos(F, U) = F·U·cosα,

где F – модуль силы F; U – модуль вектора U перемещения точки приложения силы F; α – угол, составленный направлениями векторов F и U.

Единица измерения работы [Нм] = [Дж].

Согласно последнему равенству работа постоянной силы F на перемещении U точки ее приложения равна произведению трех сомножителей: модуля силы на модуль вектора перемещения точки приложения силы и на косинус угла, составленного направлениями векторов F и U.

В

Рис. 5.20

зависимости от величины угла α работа A(F) силы F на перемещении U точки ее приложения может быть положительной, отрицательной или равной нулю (рис. 5.20).

Анализ рис. 5.20 позволяет сделать следующие выводы:

1) если векторы F и U направлены в одну полуплоскость, то A(F) > 0;

2) если векторы F и U направлены в разные полуплоскости, то A(F) < 0;

3) если векторы F и U взаимно перпендикулярны, то A(F) = 0.

Как правило, в задачах инженерной практики силы являются переменными, а точки их приложения описывают криволинейные траектории (рис. 5.21).

В этом случае используют понятие «элементарная работа силы».

Элементарная работа силы – скалярная мера действия силы, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки ее приложения.

Рис. 5.21

Рассмотренное понятие базируется на другом понятии – «элементарное перемещение точки».

Элементарное перемещение точки – перемещение точки из данного положения в положение, бесконечно близкое к нему.

Это перемещение изображается вектором, начало и конец которого совпадают соответственно с положениями точки в начале и конце перемещения. Элементарное перемещение dU направляется по касательной к траектории движения в данной точке. Так как вектор dU и вектор V скорости точки имеют одинаковое направление, то равенство для определения элементарной работы δA(F) имеет вид

δA(F) = F·dU = F·dU·cos(F, dU).

Работа переменной силы F на конечном перемещении U точки ее приложения по произвольной траектории равна криволинейному интегралу, взятому вдоль кривой от М₁ до М₂ от элементарной работы δA.

А(F) = ∫F·dU = ∫F·dU·cos(F, dU).

Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения – величина, равная криволинейному интегралу от элементарной работы силы, действующей на данную материальную точку, взятому вдоль дуги кривой, описанной точкой при этом перемещении.

Если сила последовательно действует на разные точки механической системы (тела), то ее работа при конечном перемещении системы определяется как предел суммы соответствующих элементарных работ.

Выражение работы переменной силы на конечном перемещении точки ее приложения по криволинейной траектории через проекции F_оx, F_оy, F_оz силы F и проекции dx, dy, dz вектора dU элементарного перемещения на оси декартовой системы отсчета имеет вид

A(F) = ∫(F_оxdx + F_оydy + F_оzdz).

Р

Рис. 5.22

ассмотрим движение i-й точки неизменяемой механической системы в инерциальной системе отсчета OXYZ (рис. 5.22).

Как известно, точки механической системы осуществляют движение под действием активных сил , реакций внешних связей и внутренних сил . В этом случае элементарная работа δA_s внешних сил ( , ) и внутренних сил , приложенных к точке, будет равна

δA_s = ( + + )·dU =

= ·dU·cos( , dU) + ·dU·cos( ,dU) + ·dU·cos( , dU).

Определим работу силы тяжести G при перемещении точки из положения М₁ в положение М₂ в инерциальной системе отсчета OXYZ (рис. 5.23).

Р

Рис. 5.23

аботу A(G) силы тяжести G определяют по формуле

A(G) = ± GH,

где G – модуль силы тяжести (вес); Н – изменение высоты точки при ее перемещении из положения М₁ в положение М₂.

Знак (+) соответствует перемещению точки вниз, а знак (–) соответствует перемещению точки вверх.

Таким образом, работа силы тяжести равна взятому со знаком (+) или (–) произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее приложения.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка ее приложения, а зависит лишь от расстояния между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки.

В данном учебно-методическом пособии рассматриваются только неизменяемые механические системы. Для таких систем элементарная работа δA( ) внутренних сил, определяемая как сумма элементарных работ внутренних сил, действующих на точки, равна нулю.

δA( ) = Σ ·dU·cos( , dU) = 0.

Исходя из этого, элементарную работу δA_s при перемещении неизменяемой механической системы определяют по формулам:

δA_s = Σ( + )·dU;

δA_s = Σ ·dU·cos( , dU) + Σ ·dU·cos( ,dU).

В процессе движения механической системы ее тела осуществляют три вида движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное.

При поступательном движении твердого тела, рассматриваемого как неизменяемая механическая система, элементарная работа δА_s внешних сил, приложенных к нему, равна

δA_s = Σ ·dU·cos( , dU) + Σ ·dU·cos( ,dU).

При вращательном движении тела относительно оси OZ имеем

δA_s = ΣM_oz( )δφ + ΣM_oz( )δφ,

где ΣM_oz( ), ΣM_oz( ) – соответственно моменты активных сил и реакций внешних связей относительно оси OZ вращения тела; δφ – элементарный угол поворота тела (приращение угла поворота тела).

Так как плоскопараллельное движение твердого тела есть сумма поступательного движения со скоростью полюса (как правило, за полюс принимают центр масс твердого тела) и вращательного движения с угловой скоростью ω относительно оси, проходящей через полюс, то элементарную работу δA_s определяют по формуле

δA_s = Σ ·dU_с·cos( , dU_с) + Σ ·dU_с·cos( ,dU_с) +

+ ΣM_сz( )δφ +ΣM_сz( )δφ,

где ΣM_сz( ), ΣM_сz( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси CZ , проходящей через центр масс тела; dU_с – элементарное перемещение центра масс тела.

В инженерных дисциплинах широко используется понятие «мощность силы». Определим это понятие.

Мощность силы – величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения.

Мощность обозначают символом N и находят по формуле

N = F·V = F·V·cos(F, V).

Так как мощность силы характеризует быстроту выполнения работы, то величину мощности можно находить по формуле

N = δA(F)/dt,

где δA(F) – элементарная работа силы; dt – промежуток времени, за который совершена элементарная работа.

Единица измерения мощности [Дж/с] = [Вт], (ватт).

Для поступательного движения твердого тела мощность определяют по формуле

N = Σ ·V_c·cos( , V_c) + Σ ·V_c·cos( , V_c),

где V_c = dU_с/dt – скорость центра масс.

При вращательном движении твердого тела имеем

N = ΣM_oz( )ω + ΣM_oz( )ω,

где ω – угловая скорость вращения тела.

Вычисление суммы работ сил осуществляют по следующему алгоритму.

1. Изобржают на рисунке силы, приложенные к материальной точке либо к системе материальных точек.

2. Изображают элементарные перемещения точек системы.

3. Вычисляют элементарную работу сил, т. е. сумму работ всех сил на элементарных перемещениях точек системы.

4. Вычисляют искомую сумму работ сил на конечных перемещениях как сумму определенных интегралов, взятых в соответствующих пределах от элементарных работ. При наличии сил тяжести вычисляют работу этих сил на конечных перемещениях по формуле A(G_i) = ±G_iH_ci, где H_ci – высота, на которую перемещается центр С_i масс i-го тела.