5.4.3. Динамика плоскопараллельного движения

твердого тела

Плоскопараллельным (плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Р

Рис. 5.18

ассмотрим плоскопараллельное движение твердого тела в инерциальной системе отсчета OYZ, происходящее под действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 5.18).

Поскольку твердое тело рассмотрено как неизменяемая механическая система, то главный вектор R^J внутренних сил , приложенных к точкам тела, всегда равен нулю (R^J = Σ = 0). Так как внутренние силы не влияют на движение центра С масс тела, то они на рис. 5.18 не показаны.

Из курса кинематики известно, что плоскопараллельное движение можно рассматривать как сложное движение, представляющее собой сумму двух движений: 1 – поступательное движение со скоростью V_C центра масс в неподвижной системе отсчета OХY; 2 – вращательное движение относительно подвижной оси CZ₁, проходящей через центр масс, при этом подвижная система отсчета CX₁Y₁Z₁ совершает поступательное движение.

Необходимо отметить, что начало системы отсчета CX₁Y₁Z₁ всегда располагают в центре С масс тела.

Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела в динамике, как правило, записывают в следующем виде:

x_c = f₁(t); y_c = f₂(t); φ = f₃(t).

С использованием этих уравнений движения дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела имеют вид:

m = Σ + Σ ;

m = Σ + Σ ;

J_сz1(d₂φ/dt²) = ΣM_сz1( ) + ΣM_сz1( ),

где m – масса тела; , – проекции ускорения центра С масс тела на координатные оси неподвижной системы отсчета OXY; Σ , Σ – суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ , Σ – суммы проекции реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; d₂φ/dt² = ε – угловое ускорение тела; J_сz1 – момент инерции твердого тела относительно подвижной оси CZ₁ вращения, проходящей через центр масс; ΣM_сz1( ), ΣM_сz1( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно подвижной оси CZ₁ вращения, проходящей через центр масс тела.

С помощью этих дифференциальных уравнений движения твердого тела можно решать как прямые (первые), так и обратные (вторые) задачи динамики.

При решении обратных задач динамики (определение движения по заданным силам) приходится интегрировать систему дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела. Для определения шести постоянных интегрирования (С₁,…, С₆) должны быть заданы шесть начальных условий движения: x_c0, y_c0, z_c0, , , .

В учебной программе могут быть предусмотрены курсовые задания по излагаемой теме, поэтому необходимо привести алгоритм решения таких задач.

Решение задач динамики плоскопараллельного движения твердого тела рекомендуется выполнять по следующему алгоритму.

1. Выбрать неподвижную (инерциальную) систему отсчета OXY.

2. Изобразить тело в системе отсчета OXY в произвольный момент времени.

3. В центре С масс твердого тела разместить начало подвижной системы отсчета.

4. Изобразить на рисунке все внешние силы ( , ), приложенные к твердому телу.

5. Составить дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела:

m = Σ + Σ ;

m = Σ + Σ ;

J_сz1(d₂φ/dt²) = ΣM_сz1( ) + ΣM_сz1( ).

Дальнейший ход решения зависит от того, какая задача динамики должна быть решена – прямая или обратная.