5.3.6. Пример выполнения курсового задания д 3

Условие задания.

Т

Рис. 5.12

Z₁

ело Н массой m₁ вращается вокруг вертикальной оси O₁Z₁ с постоянной угловой скоростью ω₀ (рис. 5.12).

O₁

В точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массой m₂ (на рис. 5.12 точки О и К не показаны). В некоторый момент времени (t₀ = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом M_z = M_z(t). При t = τ действие пары сил прекращается.

Определить угловую скорость ω_τ тела Н в момент t = τ.

Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью ω_τ.

В некоторый момент времени (t₁ = 0, где t₁ – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении от А к В) по закону ОК = s = s(t₁).

Определить угловую скорость ω_Т тела Н при t₁ = T.

Тело Н рассматривать как однородную пластинку.

Дано: m₁ = 20 кг; m₂ = 5 кг; ω₀ = 5 рад/с = const; a = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; M_z = – 6,3t^0,5 Нм; τ = 4 с; OK = s(t₁) = (5πR/6)t₁ м; Т = 1с.

Решение.

К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

dL_о1z1/dt = ΣM_о1z1( ) + ΣM_о1z1( ),

где L_о1z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣM_о1z1( ), ΣM_о1z1( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Решение задачи разобьем на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении; на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на третьем этапе – движение механической системы в момент времени Т.

Первый этап.

В исходном положении тело Н (тело 1 массой m₁), на котором неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено тело 2 (самоходный механизм массой m₂), вращается с постоянной угловой скоростью ω₀ (см. рис. 5.12).

Введем неподвижную (инерциальную) систему отсчета O₁X₁Y₁Z₁, совместив ось O₁Z₁ с осью вращения тела 1. Покажем на рис. 5.13 направление вращения тела 1 с угловой скоростью ω.

Внимание!

Независимо от знака начальной угловой скорости ω₀ направление вращения тела 1 на рис. 5.13 рекомендуется показывать против хода часовой стрелки. Это позволит решать задачу в общем виде для любого направления вращения тела 1. Частные решения будут получены при подстановке в общее решение исходных данных задачи.

Определим положение центра С₂ масс тела 2 на теле 1. Поскольку АО = 0, то точки А, О и С₂ совпадают. Центр масс тела 2 описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости. Центр этой окружности находится на оси вращения. Покажем на рис. 5.13 траекторию движения этого центра масс, а также векторы абсолютной скорости V_c2 и количества движения m₂V_c2. Эти векторы приложены в точке С₂ и направлены противоположно направлению к

Рис. 5.13

оординатной оси O₁X₁.

V_C2

Определим кинетический момент L_01z1 механической системы относительно оси вращения O₁Z₁ по формуле

L_01z1 = L_01z1(1) + L_01z1(2),

где L_01z1(1), L_01z1(2) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения O₁Z₁.

Величину L_01z1(1) вычисляют по формуле

L_01z1(1) = J_o1z1(1)ω,

где J_o1z1(1) – момент инерции тела 1 относительно оси вращения.

Поскольку по условию задания тело 1 – однородная прямоугольная пластина, то имеем J_o1z1(1) = m₁a²/3 (см. табл. 4.1). Тогда

L_01z1(1) = (m₁a²/3)ω = (20·0,6²/3)ω = 2,4ω.

Кинетический момент L_01z1(2) тела 2 относительно оси вращения равен моменту количества движения m₂V_c2 этого тела относительно той же оси.

L_01z1(2) = (m₂V_c2)·a = (m₂(ω a)) a = m₂ a²·ω = 5·0,6²·ω = 1,8ω.

Поскольку кинетические моменты тел механической системы определены, то кинетический момент L_01z1 системы равен

L_01z1 = L_01z1(1) + L_01z1(2) = 2,4ω + 1,8ω = 4,2ω.

Таким образом, формула для определения кинетического момента L_01z1 механической системы в ее исходном положении получена.

Второй этап.

Р

Рис. 5.14

ассмотрим движение механической системы под действием активных нагрузок и реакций внешних связей (рис. 5.14).

С

Z_o1

V_C2

огласно рис. 5.14 на механическую систему действуют внешние нагрузки: активные силы G₁, G₂ (силы тяжести тел системы); активный момент M_z(t), зависящий от времени; реакции X_O1, Y_O1, Z_O1 в точке О₁ подпятника и реакции X_D, Y_D цилиндрического шарнира в точке D.

Внимание!

Независимо от знака момента M_z(t), заданного в исходных данных задачи, на рис. 5.14 направление этого момента рекомендуется показывать против хода часовой стрелки. Это позволяет решать задачу в общем виде и получать частные решения при любых исходных данных.

Так как активный момент M_z(t) зависит от времени, то очевидно, что при его действии на механическую систему будет изменяться ее угловая скорость ω.

В принятых условных обозначениях теорема об изменении кинетического момента механической системы записывается в виде

dL_01z1/dt = ΣM_01z1( ) + ΣM_01z1( ).

Определим производную по времени от кинетического момента механической системы относительно оси вращения.

dL_01z1/dt = d(4,2ω)/dt = 4,2dω/dt.

Сумма моментов активных нагрузок, приложенных к механической системе, относительно оси вращения равна

ΣM_01z1( ) = M_z = – 6,3t^0,5.

Сумма моментов реакций внешних связей относительно оси вращения равна нулю (ΣM_01z1( ) = 0).

В этих условиях теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения приобретает вид дифференциального уравнения:

4,2dω/dt = – 6,3t^0,5.

Проинтегрируем это уравнение и решим его:

∫ω = – 1,5∫ t^0,5dt;

ω_τ – ω₀ = – 1,5(0,5τ^0,5) = – 0,75τ^0,5;

ω_τ = ω₀ – 0,75τ^0,5 = 5 – 0,75·4^0,5 = 3,5 рад/с.

Таким образом, при приложении активного отрицательного момента M_z = – 6,3t^0,5 к механической системе ее угловая скорость за промежуток времени τ = 4 с изменится с начального значения ω₀ = 5 рад/с до значения ω_τ = 3,5 рад/с.

Ответ на один из вопросов (ω_τ = ?) курсового задания получен.

Третий этап.

Рассмотрим движение механической системы в момент времени Т, когда на нее действуют только активные силы G₁, G₂ (силы тяжести тел системы); реакции X_O1, Y_O1, Z_O1 в точке О₁ подпятника и реакции X_D, Y_D цилиндрического шарнира в точке D (рис. 5.15).

П

Рис. 5.15

Z_o1

оскольку материальная точка К совершает сложное движение (перемещается по вращающемуся телу 1), то необходимо рассмотреть это движение в подвижной (ПСО) и неподвижной инерциальной (ИСО) системах отсчета. Так как ПСО закреплена на теле 1, то она совершает вращательное движение.

Из курса кинематики известно, что абсолютная скорость точки в сложном движении равна

V = V_r + V_e,

где V_r – относительная скорость; V_e – переносная скорость.

Определим абсолютную скорость V_С2 точки К.

В нашем случае траектория относительного движения точки – траектория ее движения по телу 1. Такой траекторией является дуга АВ окружности радиусом R. По условию задания уравнение относительного движения точки (OK = (5πR/6)t₁) известно. Зафиксируем положение точки К на траектории относительного движения в момент времени Т центральным углом α.

OK(T) = (5πR/6)T = (5πR/6)1 = (5πR/6).

α = OK(T)/R = (5πR/6)/R = 5π/6 рад.

В градусной мере α = 150^о. На рис. 5.15 покажем траекторию переносного движения точки К. Эта траектория есть окружность, расположенная в горизонтальной плоскости. Центр окружности находится на оси вращения. Радиус окружности определим по формуле

r = a – Rsin(π – α) = a – asinα = a(1 – sinα) = a(1 – 0,5) = 0,5a.

Абсолютную скорость V_С2 центра масс тела 2 (абсолютную скорость точки К) определим по формуле

V_С2 = V_С2r + V_С2e,

где V_С2r – относительная скорость; V_С2e – переносная скорость.

По заданному уравнению относительного движения (ОК = s = s(t₁)) определим проекцию V_С2r относительной скорости точки на касательную к траектории ее движения.

V_С2r = ds/dt₁ = d((5πR/6)t₁)/dt₁ = 5πR/6 = const > 0.

Поскольку ds/dt₁ > 0, то относительная скорость V_С2r направлена в сторону увеличения дуговой координаты ОК = s (см. рис. 5.15). Необходимо отметить, что вектор скорости V_С2r лежит в плоскости рисунка.

Модуль V_С2e переносной скорости V_С2e центра масс тела 2 определим по формуле

V_С2e = r·ω = 0,5aω.

Вектор V_С2e переносной скорости направлен перпендикулярно плоскости рис. 5.15 (параллельно оси О₁Х₁).

Абсолютное количество движения m₂V_С2 тела 2 находим по формуле

m₂V_С2 = m₂(V_С2r + V_С2e) = m₂V_С2r + m₂V_С2e,

где m₂V_С2r, mV_С2e – соответственно относительное и переносное количества движения.

Векторы m₂V_С2r, mV_С2e покажем на рис. 5.15.

Запишем теорему об изменении кинетического момента механической системы для рассматриваемого этапа расчета:

dL_о1z1/dt₁ = ΣM_о1z1( ) + ΣM_о1z1( ).

Поскольку сумма моментов активных сил относительно оси вращения равна нулю (ΣM_о1z1( ) = 0) и сумма моментов реакций внешних связей относительно той же оси также равна нулю (ΣM_о1z1( ) = 0), то, следовательно, имеем dL_о1z1/dt₁ = 0. Отсюда следует, что L_о1z1 = const, т. е. при движении механической системы ее кинетический момент относительно оси не изменяется. Имеет место случай сохранения кинетического момента механической системы относительно оси O₁Z₁ ее вращения. Исходя из этого, справедливо утверждение

L_о1z1(τ) = L_о1z1(Т),

где L_о1z1(τ), L_о1z1(Т) – кинетические моменты механической системы в расчетные моменты времени τ и Т.

В начальный момент времени (t₁₀ = 0) имеем: угловая скорость прямоугольной пластины ω_τ = 3,5 рад/с; векторы количеств движения m₂V_c2r, m₂V_c2e направлены так, как это показано на рис. 5.15.

Кинетический момент L_о1z1(t₁₀ = 0) механической системы в начальный момент времени определим по формуле

L_о1z1(t₁₀ = 0) = 4,2 ω_τ.

Кинетический момент L_о1z1(Т) механической системы в момент времени Т равен

L_о1z1(Т) = L_о1z1(1) + L_о1z1(2),

где L_о1z1(1), L_о1z1(2) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения в момент времени Т.

L_о1z1(1) = 2,4ω_Т.

L_о1z1(2) = m₂V_С2e·r = (m₂(ω_Tr))r = m₂ω_T(r)² =

= m₂ω_T(0,5a)² = 5ω_T(0,5·0,6)² = 0,45ω_T.

Тогда

L_о1z1(Т) = 2,4ω_Т + 0,45ω_Т = 2,85ω_Т.

Так как кинетический момент механической системы относительно оси вращения постоянен, то

L_о1z1(t₁₀ = 0) = 4,2 ω_τ = L_о1z1(Т) = 2,85ω_Т.

Отсюда

ω_Т = (4,2 ω_τ)/2,85 = (4,2·3,5)/2,85 = 5,157 рад/с.

По сравнению с исходным положением расчета третьего этапа, когда угловая скорость пластины была равна ω_τ = 3,5 рад/с, в конце расчета ее угловая скорость выросла до значения ω_Т = 5,157 рад/с. Произошло это потому, что центр масс механической системы сместился к оси вращения. Очевидно, что угловая скорость пластины достигнет максимального значения в момент времени, когда точка К будет находиться на оси вращения.

Таким образом, ответ на другой вопрос (ω_Т = ?) курсового задания получен.