5.3. Теоремы об изменении момента количества

движения материальной точки и об изменении

кинетического момента механической системы

5.3.1. Моменты количества движения

материальной точки относительно центра и оси

Р

Рис. 5.5

ассмотрим движение материальной точки в горизонтальной плоскости OXY (рис. 5.5).

Момент количества движения mV точки М относительно центра О представляет собой вектор L₀, направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор mV и центр О в ту сторону, откуда видно, что вектор mV поворачивает горизонтальную плоскость относительно оси, проходящей через центр О, против хода часовой стрелки.

Момент количества движения материальной точки относительно центра – величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения.

Согласно рис. 5.5 момент количества движения L₀ можно определить векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку М, на вектор количества движения mV:

L₀ = r×mV.

Модуль L₀ вектора L₀ равен произведению величины mV на плечо h вектора mV относительно центра О:

L₀ = mVh.

Плечо h вектора mV количества движения точки относительно центра – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия вектора mV.

Момент L₀ количества движения mV относительно точки О равен нулю в том случае, когда линия действия вектора mV проходит через точку О, так как тогда плечо h = 0.

Р

Рис. 5.6

ассмотрим случай движения точки в пространстве (рис. 5.6).

Дадим определение понятия «момент количества движения точки относительно оси».

Момент количества движения точки относительно оси – величина, равная проекции на ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра.

Согласно определению имеем

L_ox = L_ocos(L_o, i),

где L_ox – проекция вектора L_o на ось ОХ.

При решении практических задач пользоваться этой формулой неудобно. Поэтому поступают следующим образом.

Вектор mV количества движения разлагают на компоненты mV_x, mV_y, mV_z по соответствующим координатным осям.

Момент количества движения mV точки относительно оси – величина, равная алгебраической сумме моментов компонентов mV_x, mV_y, mV_z вектора mV относительно этой оси.

Если компонент вектора mV вызывает вращение тела против хода часовой стрелки, то момент количества движения этого компонента относительно оси положителен, и отрицателен при противоположном условии. При этом на тело необходимо смотреть с положительного направления отсчета соответствующей координаты.

Аналитические выражения для определения моментов L_ox, L_oy, L_oz количества движения относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ имеют вид:

L_ox = m ·y – m ·z; L_oy = m ·z – m ·x; L_oz = m ·x – m ·y,

где x, y, z – координаты движущейся точки; , , – проекции скорости точки на оси координат.

5.3.2. Теорема об изменении момента количества

движения материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки М, входящей в механическую систему, в инерциальной системе отсчета (рис. 5.7).

Пусть точка движется в горизонтальной плоскости XOY под действием активных сил , реакций внешних связей и внутренних сил .

Равнодействующую Р этих сил определяют по формуле

Р = Σ + Σ + Σ .

Теорему об изменении момента количества движения материальной точки механической системы выражают векторным равенством:

dL₀/dt = ΣM₀( ) + ΣM₀( ) + ΣM₀( ).

Производная по времени от момента количества движения материальной точки механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Т

Рис. 5.7

ак как проекция векторной производной на любую ось равна производной от ее проекции, то, проецируя последнее векторное равенство на координатные оси системы отсчета OXYZ, получим:

dL_оx/dt = ΣM_оx( ) + ΣM_оx( ) + ΣM_оx( );

dL_оy/dt = ΣM_оy( ) + ΣM_оy( ) + ΣM_оy( );

dL_оz/dt = ΣM_оz( ) + ΣM_оz( ) + ΣM_оz( ).

Производная по времени от момента количества движения материальной точки механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.