3.6. Пример выполнения курсового задания д 2

Рассмотрим подробно пример выполнения этого задания.

Условие задания.

Ш

Рис. 3.7

арик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по прямолинейному цилиндрическому каналу движущегося тела А (рис. 3.7).

Найти уравнение относительного движения шарика x = f(t), приняв за начало координат точку О. Тело А равномерно вращается вокруг вертикальной неподвижной оси O₁Z₁.

Найти также координату x(t₁) и давление N(t₁) шарика на стенку канала при заданном значении времени t₁.

Дано: масса шарика m = 0,09 кг; угловая скорость вращения тела ω = π рад/с; начальная координата х₀ = 0, 2 м; проекция начальной относительной скорости V_r0 на координатную ось ОХ подвижной системы отсчета = 0,3 м/с; значение времени, для которого определяются искомые величины t₁ = 0,1 c; коэффициент жесткости пружины с = 0,20 Н/см = 20 Н/м; длина свободной недеформированной пружины l₀ = 0,1 м; коэффициент трения скольжения шарика о стенки канала f = 0.

Решение.

Ш

Рис. 3.8

арик в канале совершает сложное движение, поэтому необходимо рассматривать его движение как сумму относительного и переносного движений. Введем подвижную (ПСО) и неподвижную (ИСО) системы отсчета (рис. 3.8).

ИСО выбираем так, чтобы ось O₁Z₁ являлась осью вращения тела А. ПСО закрепляем на теле А таким образом, чтобы ось ОХ совпадала с траекторией относительного движения точки. ПСО вместе с телом А совершает вращательное движение с переносной угловой скоростью ω_е = ω, вектор которой расположен на оси O₁Z₁ и направлен вверх.

Изобразим точку М на траектории относительного движения в произвольный момент времени (x = f(t) > 0). При этом текущие значения относительной скорости V_r и относительного ускорения a_r направлены в сторону возрастания координаты х. Изобразим на рис. 3.8 начальную координату х₀ и начальную относительную скорость V_r0. Так как по условию задания > 0, то вектор V_r0 направлен в сторону возрастания координаты х.

Траекторией переносного движения является окружность с центром О на оси O₁Z₁ вращения и радиусом r = OM = x = f(t). Переносная скорость V_е направлена так, как это показано на рис. 3.8 – параллельна координатной оси OY подвижной системы отсчета. Поскольку переносное вращение является равномерным (ω_e = const), то переносное ускорение

a_e = a_М = ,

где – центростремительное ускорение точки М тела А.

= (ω_е)²ОМ = (ω_е)²x.

Согласно правилу векторного произведения (или правилу Жуковского) ускорение Кориолиса (a_c = 2ω_е×V_r) направлено так же, как и вектор V_е переносной скорости. Модуль ускорения Кориолиса равен

a_c = 2ω_e·V_r·sin(ω_е,V_r) = 2ω_e·V_r·sin90⁰ = 2ω_e·V_r.

Деформация Δ пружины в произвольный момент времени определяется формулой

Δ = х – l₀.

На рис. 3.8 приведены только кинематические характеристики точки М при ее относительном движении.

Запишем основное уравнение динамики относительного движения.

ma_r = ΣF_i + ΣR_i + Ф_е + Ф_с.

Определим силы, действующие на материальную точку, и покажем их на рис. 3.9.

Кориолисова сила инерции Ф_с направлена противоположно переносному ускорению a_с, а модуль равен

Φ_с = m a_c = m(2ω_e·V_r).

Переносная сила инерции Ф_е направлена противоположно переносному ускорению a_е, а модуль равен

Φ_е = m a_e = m(ω_e)²x.

К реакциям внешних связей R_i относятся силы: F_yn – сила упругости пружины; N₁, N₂ – реакции гладкой поверхности канала, по которому перемещается точка М.

F_yn = c·Δ = c(x – l₀).

Реакция N₁ направлена вертикально вверх (навстречу вектору G силы тяжести точки). Реакция N₂ расположена в горизонтальной плоскости OXY и направлена противоположно вектору Ф_с кориолисовой силы инерции.

Рис. 3.9

С учетом изложенного основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

ma_r = G + F_yn + N₁ + N₂ + Ф_е + Ф_с.

Запишем дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Для этого последнее векторное выражение спроецируем на координатные оси ПСО:

m = – F_yn + Φ_e = – cΔ + m(ω_e)²x = – c(x – l₀) + m(ω_e)²x =

= – cx + cl₀ + m(ω_e)²x; (1)

m = N₂ – Φ_c = N₂ – m(2ω_e· ); (2)

m = – G + N₁. (3)

Поскольку относительное ускорение a_r на координатные оси OY, OZ не проецируется ( = 0; = 0), то с учетом исходных данных курсового задания уравнения (2), (3) принимают вид:

N₂ = m(2ω_e· ); (2¹)

N₁ = mg. (3¹)

Дифференциальное уравнение (1) приведем к виду

+ (c/m – (ω_e)²)x = cl₀/m. (1¹)

Поскольку c/m – (ω_e)² = k² и cl₀/m = b = const, то уравнение (1¹) принимает вид

+ k²x = b. (1¹¹)

Согласно положениям высшей математики общее решение дифференциального уравнения (1¹¹) будем искать по формуле

х = х^* + х^**,

где х^* – общее решение дифференциального уравнения вида + k²x = 0; х^** – частное решение дифференциального уравнения (1¹¹).

Приступаем к определению общего решения х^* дифференциального уравнения вида + k²x = 0. Это решение зависит от знака величины c/m – (ω_e)² = k². Если k² > 0, то x^* = Asin(kt + β). Если k² < 0, то x^* = C₁e^kt + C₂e^-kt. Определим значения k² и k:

k² = c/m = 20/0,09 – (3,14)² = 22,540 c^-2 > 0; k = 4,747 c^-1.

Поскольку k² > 0, то x^* = Asin(4,747t + β).

Частное решение х^** дифференциального уравнения (1¹¹) зависит от вида его правой части. Поскольку его правая часть постоянна (b = cl₀/m = const), то его частное решение будем искать в виде x^**= B = const.

При частном решении уравнение (1¹¹) принимает вид

^** + k²x^** = b.

Так как ^** = ( ) = 0, то имеем k²B = cl₀/m. Отсюда получим

B = (cl₀/m)/k² = (20·0,1/0,09)/22,54 = 0,985 м.

Итак, общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

х = х^* + х^** = Asin(4,747t + β) + 0,985,

где А и β – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий относительного движения.

В нашем случае: x₀ = 0,2 м; = 0,3 м/с. Для определения постоянных интегрирования А и β определим проекцию относительной скорости V_r на ось ОХ.

= dx/dt = Acos(4,747t + β)·4,747.

При t₀ = 0 имеем:

x₀ = 0,2 = Asinβ + 0,985;

= 0,3 = Acosβ·4,747.

Преобразуем эту систему уравнений к виду:

0,2 – 0,985 = A sinβ = – 0,785;

0,3/4,747 = Acosβ = 0,063.

Возведя в квадратную степень левые и правые части уравнений и сложив их, получим:

= 0,787 м;

sinβ = – 0,785/A = – 0,785/0,787 = – 0,997;

cosβ = 0,063/0,787 = 0,080.

Поскольку sinβ < 0, а cosβ > 0, то величину угла β определим по формуле β = 2π – α, где α = arcsin(0,987) = 1,482 рад или α = arcсоs(0,080) = 1,482 рад. Тогда

β = 2π – α = 2·3,14 – 1,482 = 4,798 рад.

В окончательном виде имеем:

x = 0,787sin(4,747t + 4,798);

= 3,776cos(4,747t + 4,798).

По условиям задания кроме значения координаты x(t₁) необходимо определить нормальную реакцию N(t₁) в момент времени t₁.

N(t₁) = .

С учетом выражений (2¹), (3¹) имеем

N(t₁) = .

По результатам решения желательно построить графики зависимостей x = f₁(t), N = f₂(t).