3.2. Частные случаи относительного движения материальной точки

Случай 1.

П

Рис. 3.4

ереносное движение – неравномерное вращение тела вокруг неподвижной оси, относительное движение – прямолинейное (рис. 3.4).

В этом случае переносное ускорение a_e равно геометрической сумме центростремительного и вращательного ускорений:

a_e = ,

где , – соответственно центростремительное и вращательное переносные ускорения.

В соответствии с этим имеем

Ф_е = – ma_e = – m( ) = – m – m = + ,

где = – m – центробежная переносная сила инерции; = – m – вращательная переносная сила инерции.

Для рассматриваемого случая модули переносных центробежной и вращательной сил инерции находят по формулам:

= m(ω_e)²x; = mεx.

Основное уравнение динамики и дифференциальные уравнения относительного движения точки в этом случае описываются следующими выражениями:

ma_r = ΣF_i + ΣR_i + + + Ф_с;

m = ΣF_iоx + ΣR_iоx + + + Ф_соx;

m = ΣF_iоy + ΣR_iоy + + + Ф_соy;

m = ΣF_iоz + ΣR_iоz + + + Ф_соz.

Случай 2.

П

Рис. 3.5

ереносное движение – равномерное вращение (ω_e = const) вокруг неподвижной оси, относительное движение – прямолинейное (рис. 3.5).

В этом случае угловое ускорение переносного вращения ε_е = 0 и, следовательно, переносная вращательная сила инерции = 0. Тогда основное уравнение динамики и дифференциальные уравнения относительного движения точки описываются выражениями:

ma_r = ΣF_i + ΣR_i + + Ф_с;

m = ΣF_iоx + ΣR_iоx + + Ф_соx;

m = ΣF_iоy + ΣR_iоy + + Ф_соy;

m = ΣF_iоz + ΣR_iоz + + Ф_соz.

Случай 3.

П

Рис. 3.6

ереносное движение – поступательное неравномерное криволинейное движение, относительное движение – прямолинейное (рис. 3.6).

Согласно рис. 3.6 механизм содержит кривошипы 1, 2 и прямоугольную пластину 3, по которой перемещается материальная точка по закону x = f(t). Кривошипы 1, 2 совершают вращательные движения, а пластина 3 – поступательное движение.

В рассматриваемом случае имеем ω_е = 0 и Ф_с = 0, поэтому основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

ma_r = ΣF_i + ΣR_i + Ф_е,

где Ф_е = – ma_e – переносная сила инерции.

Так как переносное движение является поступательным, то его ускорение a_e равно ускорению точки А тела D. С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу О₁А, совершающему вращательное неравномерное движение (ω_е ≠ 0; ε_е ≠ 0). Тогда

a_e = a_А = = ,

где , – соответственно центростремительное и вращательное ускорения точки А кривошипа О₁А; , – соответственно нормальное и касательное переносные ускорения.

Отсюда вытекает очевидные равенства:

= = ω²·r; = = ε·r;

= – m ; = – m ,

где , – переносные нормальная и касательная силы инерции.

С учетом того, что Ф_е = + , имеем:

ma_r = ΣF_i + ΣR_i + + ;

m = ΣF_iоx + ΣR_iоx + + ;

m = ΣF_iоy + ΣR_iоy + + ;

m = ΣF_iоz + ΣR_iоz + + .

Случай 4.

Переносное движение – поступательное прямолинейное и равномерное. В этом случае имеем: ω_е = 0; a_e = 0 и, следовательно, Ф_с = 0, Ф_е = 0. Тогда основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

ma_r = ΣF_i + ΣR_i.

Это уравнение не отличается от основного уравнения динамики материальной точки в инерциальной системе отсчета, которое имеет вид

ma = ΣF_i + ΣR_i.