2.7. Влияние сопротивлений движению на вынужденные колебания материальной точки

Р

Рис. 2.15

ассмотрим движение материальной точки на гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону (рис. 2.15).

Начало системы отсчета ОY поместим в положение статического равновесия материальной точки, при котором пружина не деформирована.

Основное уравнение динамики точки для рассматриваемого случая имеет вид

ma = ΣF_i + ΣR_i = G + Q + R_c + N + F_yn.

Необходимо отметить, что силы G, Q являются активными силами, а силы R_c, N, F_yn отнесены к разряду реакций связей. Так как силы G и N не влияют на горизонтальное движение точки, то они на рис. 2.15 не показаны.

Из предыдущего материала, изложенного в данном разделе учебно-методического пособия, известно:

R_c = – αV; F_yn = c·Δ; Q = Hsin(pt + δ).

С учетом этого дифференциальное уравнение горизонтального движения точки описывается равенством

m = ΣF_ioy + ΣR_ioy = Hsin(pt + δ) – α – cy.

Перенеся члены α , cy в левую часть равенства и разделив обе его части на массу m, получим

+ (α/m) + (c/m)y = (H/m)sin(pt + δ),

где c/m = k² – квадрат циклической частоты свободных колебаний; α/2m = n – коэффициент затухания; H/m = h – отношение амплитуды возмущающей силы к массе точки.

При этих обозначениях дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

= hsin(pt + δ).

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости.

Общее решение этого уравнения состоит из общего решения y^* дифференциального уравнения и частного решения y^**.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения = hsin(pt + δ) имеет вид y = y^*+ y^**.

Частное решение y^** выражается формулой

y^** = A_csin(pt + δ – ε),

где А_с, ε – постоянные величины, не зависящие от начальных условий движения точки.

Эти постоянные называют: А_с – амплитуда вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению; ε – сдвиг фазы.

Значения А_с и ε определяют по следующей совокупности формул:

A_c = h/( ); tgε = 2np/(k² – p²);

sinε = 2npA_c/h; cosε = A_c(k² – p²)/h.

Общее решение дифференциального уравнения = hsin(pt + δ) в зависимости от соотношения величин k и n имеет вид:

при n < k y = ae^-ntsin(k^*t + β) + A_csin(pt + δ – ε);

при n = k y = e^-nt(C₁t + C₂) + A_csin(pt + δ – ε);

при n > k y = e^-nt(C₁ ^)t + C₂ ^)t) + A_csin(pt + δ – ε),

где α, β, С₁, С₂ – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения точки.

Н

Рис. 2.16

а рис. 2.16 приведены графики зависимостей: y^* = f₁(t); y^** = f₂(t); y = f₃(t) для случая, когда n < k; p > k, и начальных условий y₀ > 0, > 0.

На рис. 2.17 приведены графики зависимостей y^* = f₁(t), y^** = f₂(t), y = f₃(t) для случая, когда n = k; p > k, и начальных условий y₀ > 0; >0.

Рис. 2.17

Таким образом, графики зависимостей y = f₃(t) на рис. 2.16, 2.17 при p > k представляют собой наложение высокочастотных вынужденных колебаний y^** = f₂(t) соответственно на затухающие колебания (см. рис. 2.16) или апериодическое движение (см. рис. 2.17).