Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать первый закон динамики (закон инерции).

2. Сформулировать второй закон динамики (закон пропорциональности силы и ускорения).

3. Сформулировать третий закон динамики (закон равенства действия и противодействия).

4. Сформулировать четвертый закон динамики (закон независимости действия сил).

5. Сформулировать определение понятия «инерциальная система отсчета».

6. Записать основное уравнение динамики несвободной материальной точки.

7. Записать дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в декартовой системе отсчета.

8. Записать дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях.

9. Сформулировать суть первой задачи динамики.

10. Сформулировать суть второй задачи динамики.

11. Как определяются постоянные интегрирования при решении второй задачи динамики?

2. Колебательное движение точки и тела

2.1. Виды колебательных движений материальной точки

Колебательное движение материального тела происходит при условии, когда на него действует сила, стремящаяся вернуть его в положение статического равновесия. Такую силу называют восстанавливающей.

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть тело или точку в положение статического равновесия.

П

Рис. 2.1

римером такой силы является сила упругости F_yn пружины (рис. 2.1).

Рассмотрим движение тела весом G по гладкой горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчета OYZ. Начало системы отсчета поместим в положение статического равновесия тела. В этом случае пружина не деформирована и имеет размер l₀. В положении статического равновесия (см. рис. 2.1,а) на тело действуют активная сила G (сила тяжести) и реакция N гладкой поверхности.

Если из исходного положения равновесия тело переместить на расстояние y₀ и сообщить ему начальную скорость V₀, то оно будет совершать поступательное движение.

Из курса кинематики известно, что уравнения поступательного движения тела такие же, как и уравнения движения точки. На основании изложенного движение этого тела можно рассматривать как движение материальной точки массой m = G/g, на которую действуют активная сила G (сила тяжести) и реакции N, F_yn внешних связей (рис. 2.1,б). В рассматриваемом случае основное уравнение динамики имеет вид

ma = ΣF_i + ΣR_i = G + N + F_yn.

Сила F_yn является реакцией деформированной пружины. Сила F_yn всегда направлена к положению статического равновесия точки. Из рис. 2.1 видно, что деформация Δ пружины является переменной величиной и равна модулю координаты «y» точки в системе отсчета OYZ.

Модуль силы упругости пропорционален ее деформации:

F_yn = c·Δ = c·y,

где с – коэффициент жесткости пружины, численно равный силе упругости при ее деформации Δ = 1 м.

Коэффициент жесткости является конструктивной характеристикой пружины. Этот коэффициент имеет размерность [Н/м].

Таким образом, сила F_yn упругости деформированной пружины всегда направлена к началу системы отсчета (положению статического равновесия точки) и пропорциональна величине отклонения точки от этого положения. Другими словами, сила упругости относится к разряду восстанавливающих сил, зависящих от положения точки.

Колебания могут происходить и под действием восстанавливающих сил, изменяющихся по другим законам.

В инженерных расчетах широкое применение получили четыре основных случая колебательного движения материальной точки:

1) свободные колебания, вызванные постоянной системой сил и восстанавливающей силой;

2) колебания, совершаемые под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости;

3) вынужденные колебания, осуществляющиеся под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону;

4) вынужденные колебания, происходящие под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Рассмотрим последовательно эти колебания.