Варианты 26 – 30 (рис. 1.14)

И

Рис. 1.14

мея в точке А скорость V_A, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ секунд. Коэффициент трения скольжения по плоскости равен f. Со скоростью V_B тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью V_C, находясь в воздухе Т секунд.

При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: V_A = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить V_C и d.

Вариант 27. Дано: V_A = 4 м/с; f = 0,1; τ = 2 c; d = 2 м. Определить V_B и h.

Вариант 28. Дано: V_B = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить V_A и Т.

Вариант 29. Дано: V_A = 3 м/с; V_B = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить V_A и τ.

1.13. Пример выполнения курсового задания д 1

В общем случае система сил, действующая на материальную точку, может быть постоянной или зависеть от времени t, положения в пространстве, скорости и т. д. В связи с этим интегрирование дифференциальных уравнений движения точки имеет свою специфику. В курсовом задании Д 1 система сил, действующая на точку, постоянна. Рассмотрим пример выполнения этого задания.

Условие задания.

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость V_A. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ секунд тело в точке В со скоростью V_B покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью V_C; при этом оно находится в воздухе Т секунд (рис. 1.15).

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

X₁

Y₁

Д

Рис. 1.15

ано: V_A = 1 м/с; α = 30^о; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить V_C и τ.

Решение.

1

Рис. 1.16

Y₁

. Рассмотрим движение тела на участке АВ в заданной системе отсчета АX₁Y₁, приняв его за материальную точку (рис. 1.16).

X₁

Такое допущение обосновано тем, что тело совершает поступательное движение и, следовательно, уравнения его движения такие же, как и у точки.

2. Изобразим точку в системе отсчета АX₁Y₁ в произвольный момент времени t. При этом ее координата x₁ = f(t) > 0 и точка движется в сторону возрастания этой координаты ускоренно. Следовательно, ускорение a имеет такое же направление, как и скорость V.

3. Согласно условию задачи при t₀ = 0 начальная координата х₁₀ = х_1А = 0 и проекция начальной скорости = V_A.

4. К точке приложим активную силу G – силу тяжести. Так как опорная поверхность точки шероховатая, то имеем две реакции: N – нормальная реакция; F_tr – сила трения скольжения. Силу F_tr направляют в сторону, противоположную направлению скорости V. Из курса статики известно, что силу трения и нормальную реакцию связывает соотношение F_tr = f·N.

5. Запишем основное уравнение динамики точки.

ma = ΣF_i + ΣR_i = G + N + F_tr.

Спроецировав это векторное выражение на координатные оси системы отсчета АX₁Y₁, получим дифференциальные уравнения движения точки:

m = Gsinα – F_tr; (1)

m = Gcosα – N, (2)

где , – проекции ускорения a на координатные оси.

Поскольку вектор a на ось AY₁ не проецируется, то из уравнения (2) имеем N = Gcosα = mgcosα. Отсюда F_tr = f·N = fmgcosα. Анализируя последнее равенство, сделаем вывод о том, что реакции N и F_tr не зависят от того, в каком кинематическом состоянии (покоя или движения) находится точка.

С учетом изложенного уравнение (1) приводится к виду

m = Gsinα – F_tr = Gsinα – fNcosα =

= mgsinα – fmgcosα = mg(sinα – fcosα). (1¹)

Упростим последнее выражение.

= g(sinα – fcosα). (1¹¹)

6. Дважды проинтегрируем последнее уравнение.

= g(sinα – fcosα)t + C₁;

x₁ = g(sinα – fcosα)t²/2 + C₁t + C₂,

где С₁, С₂ – постоянные интегрирования.

7. Определим постоянные С₁, С₂ подстановкой в последние уравнения начальных условий движения. При t₀ = 0 имеем:

= V_A = g(sinα – fcosα)t₀ + C₁;

= Х_1A = 0 = g(sinα – fcosα)(t₀)²/2 + C₁t₀ + C₂.

Отсюда С₁ = V_A; С₂ = 0. Окончательно имеем:

= g(sinα – fcosα)t + V_A;

x₁ = g(sinα – fcosα)t²/2 + V_At,

где x₁, – соответственно текущие координата точки и проекция ее скорости на координатную ось АХ₁.

Последние выражения справедливы для любого значения времени, пока точка движется по участку АВ. В момент времени τ движущееся тело находится в точке В участка АВ. Исходя из этого, получим систему двух уравнений.

V_B = g(sinα – fcosα)τ + V_A;

l = g(sinα – fcosα)τ²/2 + V_A τ.

Эта система уравнений содержит неизвестные τ и V_B. Поскольку число уравнений равно числу неизвестных величин, то такую систему уравнений решают стандартными приемами и определяют V_B и τ. После определения V_B и τ рассматривают движение материальной точки на участке ВС ее траектории в системе отсчета ВХY (см. рис. 1.15).

Если последнюю систему уравнений решить нельзя (число неизвестных превышает число уравнений равновесия), то так же переходят к рассмотрению движения точки на участке ВС в системе отсчета ВXY.

8. Рассмотрим движение точки на участке ВС в заданной системе отсчета ВXY.

9

Рис. 1.17

X

. Изобразим точку на траектории ее движения в произвольный момент времени (рис. 1.17).

1

Y

0. Определим начальные условия движения точки на участке ВС. Согласно рис. 1.17 имеем: x₀ = 0; = V_Bcosα; y₀ = 0; = V_Bsinα.

11. На точку действует только одна активная сила G – сила тяжести. Реакций связей нет, поскольку сопротивление воздуха не учитывается.

12. Основное уравнение динамики для точки имеет вид

ma = ΣF_i + ΣR_i = G.

Запишем дифференциальные уравнения движения точки.

m = ΣF_iоx + ΣR_iоx = 0; (3)

m = ΣF_iоy + ΣR_iоy = G = mg. (4)

13. Проинтегрируем последние уравнения. Так как масса точки m ≠ 0, то из уравнения (3) имеем = 0. Отсюда следует, что = dx/dt = C₃ = const, где – проекция скорости на координатную ось ВХ; С₃ – постоянная интегрирования. Определим С₃ по начальным условиям движения. При t₀ = 0 имеем ₀= V_Bcosα = C₃. Так как = const, то окончательно получим выражение = V_Bcosα. Другими словами, в любой момент времени проекция скорости на координатную ось ВХ постоянна, т. е. не зависит от времени.

Проинтегрировав последнее выражение, получим

х = V_Bcosα·t + C₄,

где С₄ – постоянная интегрирования.

Определим эту постоянную по начальным условиям движения. При t₀ = 0 имеем х₀ = 0 = V_Bcosα·t₀ + C₄. Отсюда получим С₄ = 0. Окончательно текущее значение координаты х точки находят по формуле

х = V_Bcosα·t.

Дифференциальное уравнение (4) движения точки приведем к виду = g. Проинтегрируем это выражение и получим

= gt + C₅,

где – текущее значение проекции скорости на координатную ось BY; С₅ – постоянная интегрирования.

По начальным условиям движения имеем

= V_Bsinα = gt₀ + C₅.

Отсюда С₅ = V_Bsinα. Тогда = gt + V_Bsinα.

Проведем интегрирование последнего выражения.

y = gt²/2 + V_Bsinα·t + C₆.

Определим постоянную интегрирования С₆. При t₀ = 0 имеем

y₀ = 0 = g(t₀)²/2 + V_Bsinα·t₀ + C₆.

Тогда С₆ = 0.

Текущее значение координаты y находят по формуле

y = gt²/2 + V_Bsinα·t.

Таким образом, получаем выражения для определения текущих значений координат х, у и проекций , скорости точки при ее движении по траектории ВС. В момент времени Т, когда тело находится в точке С траектории его движения (см. рис. 1.17), эти выражения приобретают следующий вид:

_с= V_Bcosα; _с = gТ + V_Bsinα;

d = V_Bcosα·T; h = gT²/2 + V_Bsinα·T,

где _с, _с – проекции скорости V_C на координатные оси; d, h – координаты точки С в системе отсчета ВXY.

По условию задачи требуется определить модуль скорости тела в точке С траектории его движения. Для этого используется формула .

Таким образом, для определения неизвестных величин необходимо совместно решить следующую систему уравнений:

V_B = g(sinα – fcosα)τ + V_A;

l = g(sinα – fcosα)τ²/2 + V_A τ;

_с= V_Bcosα;

_с = gТ + V_Bsinα;

d = V_Bcosα·T;

h = gT²/2 + V_Bsinα·T;

.

В этой системе уравнений неизвестными величинами являются: V_B, τ, d, T, _с, _с, V_C.

Таким образом, имеем семь уравнений, содержащих семь неизвестных.

Для координации вектора V_C скорости тела в точке С пространства рекомендуется определить величину угла β, составленного направлением этой скорости с положительным направлением отсчета координаты х по формулам:

cos(V_C, i) = _c/V_C; β = arcos( _c/V_C).

Результаты проведенных расчетов сводят в таблицу.