1.10. Пример решения первой задачи динамики точки в естественных координатных осях
Условие задачи.
Материальная точка массой m = 1,2 кг движется по окружности радиуса r = 1 м на гладкой горизонтальной поверхности согласно уравнению s = 2,4t2 (рис. 1.7). Заданы начальные условия движения: s0 = 0; V0 = 0. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке в момент времени t1 = 1 c.
Решение.
Н
Рис. 1.7
а рис. 1.7 изобразим материальную точку в произвольный момент времени.В эту точку поместим начало координат ПСО.
Орт τ направлен в сторону возрастания дуговой координаты s, а орт n направлен к центру кривизны траектории движения. Этим центром является центр окружности. Радиус ρ кривизны траектории движения точки равен радиусу окружности ρ = r.
Покажем на рис. 1.7 начальные условия движения. По условиям задачи s0 = 0; V0=0.
Согласно условию задачи к точке приложены активные силы G и F1 и реакция N гладкой поверхности. Поскольку рис. 1.7 изображен в ортогональных проекциях, то силы G и N перпендикулярны опорной поверхности точки и, следовательно, на рисунке не видны. Основное уравнение динамики для решаемой задачи имеет вид
ma = ΣFi + ΣRi = G + F1+ N.
6. Запишем дифференциальные уравнения движения точки в естественных координатных осях.
m = ΣFiτ + ΣRiτ = F1sinα; (1)
m
/ρ
= ΣFin
+ ΣRin
= F1cosα;
(2)
ΣFib + ΣRib = 0 = – G + N. (3)
Из уравнения (3) имеем N = G = mg = 1,2·9,81 = 11,772 H.
7. По заданному уравнению s = 2,4t2 определим проекцию скорости V и проекцию ускорения точки на касательную.
= 4,8t; =4,8 м/с2.
8. Найденные проекции , подставим в уравнения (1), (2). Получим:
m(4,8) = F1sinα; (11)
m(4,8t)2/r = F1cosα. (21)
9. Согласно уравнениям (11), (21) имеем:
Pτ = F1sinα; Pn = F1cosα,
где Pτ, Pn – проекции равнодействующей Р = G + F1 + N активных сил и реакций внешних связей, приложенных к точке, на координатные оси ПСО. Тогда:
Pτ = m(4,8); (111)
Pn = m(4,8t)/r. (211)
Определим значения Pτ и Pn в момент времени t1.
Pτ(t1) = 1,2·4,8 = 5,76 H;
Pn(t1) = m(4,8t1) = 1,2·4,8·1 = 5,76 H.
10. Определим модуль Р равнодействующей в момент времени t1.
=
=
8,145 Н.
11. Для ориентации вектора Р в пространстве определим направляющие косинусы и величину угла α, составленного направлением равнодействующей силы Р и ортом τ.
cos(P, τ) = Pτ/P = 5,76/8,145 = 0,707.
α = arcos(0,707) = 45о.
12. Определим положение точки на траектории ее движения в момент времени t1 и зафиксируем это положение центральным углом β.
s(t1) = 2,4(t1)2 = 2,4·12 = 2,4 м;
β = s(t1)/r = 2,4/1 = 2,4 рад.
В градусной мере β = (2,4/3,14)180о = 137,579о.
Полученные результаты расчетов проиллюстрируем рис. 1.8.
Рис. 1.8
Таким образом, задача решена. Ответы на вопросы получены.