Эта масса называется приведенной к ползуну массой системы. Для рассматриваемого примера она равна

Кинетическая энергия всей системы

(23)

2.4.2 Определение работы сил

Сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении (рисунок 6) равна

(24)

где - работа внешних сил, приложенных к грузу 1, Дж;

- работа внешних сил, действующих на барабаны 2, Дж;

- работа внешних сил, действующих на блок 3, Дж;

- работа внешних сил, действующих на груз 4, Дж.

На груз 1 (см.рисунок 6) действуют силы: вес , нормальная реакция плоскости, сила трения

Рисунок 6 – К определению работы сил, приложенных к системе

Работа силы тяжести определится по формуле (5):

Работа нормальной реакции равна нулю, так как

.

Работа силы трения скольжения на основании (6) равна

где

Тогда по формуле (7)

Работа всех внешних сил, приложенных к грузу 1,

или

(14)

На барабаны 2 действуют силы: вес , составляющие реакции подшипника и внешний момент .

Работа сил и равна нулю, так как они приложены к неподвижной точке.

Работа внешнего момента определяется по формуле (11):

где - угол поворота барабанов 2.

Выразим угол поворота через перемещение груза :

так как нити нерастяжимы то

Тогда работа внешних сил, приложенных к барабанам 2,

(26)

Работа внешних сил, приложенных к блоку 3, определяется как работа силы тяжести (4):

Перемещение центра тяжести блока 3 выразим через перемещение груза 1. Так как линейные перемещения точек находятся в таком же соотношении, как и соответствующие им линейные скорости, то

Тогда работа внешних сил, приложенных к блоку 3, определится по формуле:

(27)

Работа внешних сил, приложенных к грузу 4, равна

(28)

так как

Подставим выражения (25)-(28) в формулу (24).

Работа всех внешних сил, приложенных к данной системе, равна

или

где через обозначена величина, имеющая размерность силы, называемая приведенной силой [4]:

Вычислим приведенную силу

Следовательно,

(29)

При имеем

.

Так как получили то есть работа движущих сил больше работы, затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, то на рассматриваемом перемещении кинетическая энергия системы возрастает. Это условие выполняется в случае, когда приведенная к ползуну сила положительна .

2.4.3 Определение скорости груза 1

Для определения скорости груза 1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Значения Т из (23) и из (29) подставляем в формулу (13):

Скорость груза 1 равна

При получим, что

2.4.4 Определение ускорения груза 1

Закон изменения кинетической энергии для механической системы можно записать в дифференциальной форме [4]:

Отсюда легко находим дифференциальное уравнение движения системы:

Когда приведенная масса постоянна , будем иметь

или

(30)

где W - ускорение,

Задача о движении механической системы сводится к задаче о движении точки, к которой приведены масса всей системы и силы, приложенные к её точкам.

Ускорение при и определится из формулы (30):

Приведенная к ползуну сила положительна Система будет двигаться в выбранном направлении с ускорением.

П р и м е ч а н и я

1 Когда приведенная к ползуну сила отрицательна то система перемещается в выбранном направлении с замедлением либо она остается в покое, либо движется в обратном направлении (с ускорением).

2 Ускорение груза 1 можно определить также следующим способом:

- зная, что , находим ускорение

то есть ускорение груза 1 равно

- выполним дифференцирование при , получим

и найдем значение ускорения

2.5 Заключение

В результате расчета установили, что:

а) груз 1 перемещается в выбранном направлении вверх по наклонной плоскости ускоренно: так как ;

б) в конце пути скорость груза ;

в) ускорение груза равно