В2.4. Бином Ньютона

Утверждение. Справедлива формула (формула бинома Ньютона)

.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

1). База индукции.

( + )¹= ^{1 0}+ ^{0 1} = + ;

( + )²= ²× ⁰+ + ^{0 2}= ²+2 + ².

2). Индуктивное предположение. Положим, что

.

3). Индуктивный переход.

Доказав истинность следующей формулы, мы докажем истинность бинома Ньютона.

.

Проведем преобразования и воспользуемся индуктивным предположением.

= × = + =

= + + = ⁿ⁺¹ +

+ + + ⁿ⁺¹.

Во второй сумме была сделана замена переменной, чтобы индекс суммирования менялся не от 0 до n  1, а от 1 до n.

Объединим две суммы и воспользуемся тем, что ; + .

Продолжим преобразования

ⁿ⁺¹ + + + ⁿ⁺¹=

=

что и требовалось доказать.

Второй способ доказательства формулы бинома Ньютона.

Чтобы получить произведение вида нужно из имеющихся скобок отобрать скобок, из которых выбирается сомножитель а, в оставшихся k скобках выбрать в качестве сомножителя b. Но число способов выбрать k скобок из п имеющихся равно . Следовательно, = , что и требовалось.

Следствия.

1. При =1, =1: (1 + 1)ⁿ= 2ⁿ = .

2. При = 1, = 1: (1  1)ⁿ = 0= (1)^k .

Пример.

2⁴ = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1.

0 = 1  4 + 6  4 + 1.