6. Поняття методу послідовного покращення плану або симплексного методу (см). Основні етапи. Побудова початкового опорного плану.

Рассматривалось рациональное использование идеи о переборе угловых точек: если известны какая-нибудь угловая точка (опорный план) и значение целевой функции в ней, то все угловые точки, в которых целевая функция принимает худшие, т.е. большие значения (рассматриваем ЗЛП на минимум целевой функции), заведомо не нужны. Поэтому естественно найти способ перехода от одной угловой точки (опорного плана) к лучшей, от не – к еще лучшей и т.д. В этом и заключается суть симплексного метода (СМ). Таким образом, можно ввести следующее его понятие. СМ – это вычислительная схема, позволяющая при наличии начального опорного плана направленно перебирать опорные планы до тех пор, пока не будет найден оптимальный план или установлено, что ЗЛП не имеет решения.

Существует 4 этапа процедуры СМ: 1) построение начального опорного плана; 2) оценка оптимальности плана; 3) оценка разрешимости ЗЛП; 4) переход от одного опорного плана к лучшему.

Построение начального опорного плана. СМ применим для решения ЗЛП, заданных в каноническом виде. При этом будем рассматривать реализацию алгоритма СМ на ∂ВМ, когда среди соответствующих векторов имеются ортонормированный базис или он построен искусственным образом (М-метод). Итак, рассмотрим ЗЛП, у которой среди соответствующих векторов имеется ортонормированный базис.

Опишем построение начального опорного плана. Пусть ортонормированный базис образует первые m векторов. Тогда ЗЛП имеет вид:

Выпишем соответствующие векторы: ; ; …; ; ; …; .

Переменные, соответствующие векторам, образующим ортонормированный базис, называются базисными. Переменные, соответствующие векторам, не вошедшим в базис, наз. свободными. Если векторы образуют базис, то переменные – базисные, а переменные – свободные. По определению невырожденного опорного плана, базисные переменные должны быть положительными, а свободные – нулевыми. Приравняем в основной системе ограничений переменные к нулю, тогда базисные переменные примут значения Таким образом, получен начальный опорный план:

7. Оцінка оптимальності опорного плану в см (теореми оптимальності і не оптимальності опорного плану). Ознака необмеженості цільової функції.

Числа называются оценками векторов или оценками плана.

Нетрудно показать, что оценки базисных векторов равны нулю. Действительно, пусть входит в базис, т.е. Тогда для него разложение приобретает вид: . И соответственно:

Теорема (признак неоптимальности невырожденных опорных планов): если для некоторого опорного невырожденного плана существует вектор с положительной оценкой , то не является оптимальным планом, т.е. можно построить план , e – я компонента которого больше нуля и для которого

Теорема (достаточный признак оптимальности опорных невырожденных планов): если для некоторого опорного плана оценки всех векторов неположительны ( ), то - оптимальный план.

Данная теорема справедлива и для вырожденных планов. Если же - невырожденный опорный план, то достаточный признак оптимальности является и необходимым.

Признак неограниченности целевой функции: если для некоторого опорного плана существует вектор , оценка которого положительна и все коэффициенты его разложения по базису неположительны, то целевая функция неограниченна снизу, ЗЛП решения не имеет.

8. Сутність процесу переходу від одного опорного плану до іншого опорного плану, його економічна інтерпретація в термінах задачі раціонального використання ресурсів. Зміст оцінок оптимального плану.

Выполнив все указанные преобразования для вектора и , удовлетворящего , получим план , который может содержать m+1 положительных компонентов, и, следовательно, в этом случае не будет опорным. Для того, чтобы был опорным, необходимо, но не достаточно, обратить в ноль хотя бы одну из его компонент. Выберем из условия Очевидно, что это можно сделать только в том случае, когда т.е. среди коэффициентов разложения по базису хотя бы один положительный.

Предположим, что минимум в достигается при i=k. Это означает, что и . При подстановке в k-я компонента его обратится в ноль, т.е. .

Таким образом, получим план , содержащий не более m положительных компонент. Он будет опорным, если векторы линейно независимы.

Итак, векторы образуют новый базис, который получен из прежнего введением и выведением . Каждому базису соответствует опорный план, т.е. задачу перебора опорных планов можно решать, перебирая базисы.

Условие, позволяющее ввести в базис вектор , состоит в том, чтобы хотя бы один из его коэффициентов разложения по базису был положительным: В противном случае план всегда будет содержать m+1 положительных компонент и не будет опорным. Выбирая различные , можно построить различные планы.

По оценкам векторов проверяется оптимальность плана. Если все оценки , то, как следует из теоремы о достаточном признаке оптимальности опорных невырожденных планов, план оптимальный. Если среди оценок есть положительные, то, как следует из теоремы о признаке неоптимальности невырожденных опорных планов, план неоптимальный. При этом необходимо перейти к новому опорному плану, т.е. к новому базису, причем в большинстве случаев наиболее целесообразно вводить в базис вектор с наибольшей положительной оценкой.