Означення стандартної форми злп і характеристика умов означення на можливість їх виконання.
ЗЛП называется заданной в стандартной форме канонического вида, если выполняются следующие условия: 1) система основных ограничений представлена уравнениями и все они линейно независимы; 2)число уравнений меньше числа переменных (при выполнении первого условия если число уравнений больше числа неизвестных, система несовместна и ЗЛП не имеет решений); 3)целевая функция стремиться к минимуму; 4)свободные члены неотрицательны; 5)на все переменные накладывается условие неотрицательности (ввиду их экономического смысла).
Форми запису злп (розгорнута, скорочена, матрична, векторна) і основні означення (плану, оптимального плану, опорного плану, невиродженого опорного плану).
Развернутая:
Z=C1X1+C2X2+…+CnXn (min),
A11X1+A12X2+…+A1nXn=B1;
A21X1+A22X2+…+A2nXn=B2;
………………………………….
Am1X1+Am2X2+…+AmnXn=Bm;
X1≥0; X2≥0;…;Xn≥0.
Сокращенная(с помощью знаков суммы)
min Z = ΣCjXj (j = 1,n);
Σ AijXj = Bi, i=1,m j=1,n;
Xj ≥0, j=1,n.
Матричная:
обозначим C=(C1,C2,…,Cn)
матрицу-строку коэффициентов при
переменных в целевой
функции;
- матрицу-столбец неизвестных;
A
= ||aij||
- матрицу СФО;
- матрицу-столбец свободных членов.
Тогда ЗЛП можно записать следующим образом:
Z=C*X (min);
A*X=B;
X≥0.
Векторная:
Обозначаем
=(С1,С2,…,Сn)
– вектор коэффициентов при переменных
целевой функции.
=
(Х1,Х2,…Хn)
– вектор переменных.
;
;…;
-
векторы коэффициентов при переменных
в СФО.
вектор свободных членов СФО.
Тогда ЗЛП можно составить в виде:
,
;
.
Планом ЗЛП называется набор значений переменных х1,х2,…,хn, удовлетворяющий полной системе ограничений.
Решением ЗЛП, или оптимальным планом, называется план, доставляющий минимум (максимум) целевой функции.
План называется опорным, если его положительным компонентам соответствует система линейно независимых векторов.
Опорный план называетсяне вырожденным, если векторы, соответствующие его положительным компонентам, образуют базис.
Графоаналітичний метод розв'язання ЗЛП та його характеристика. Спосіб повного перебору кутових точок і спосіб направленого перебору, їх етапи. Поняття лінії рівня, градієнта цільової функції, опорної прямої до множини "к".
З назви «графоаналітичний» випливає, що його застосування містить графічну й розрахункову частини. При цьому графічна частина використ-ся для знаходження множини планів ЗЛП, тобто множини К. Якщо число змінних ЗЛП=2, то її плани можна зобразити точками на координатній площині. Враховуючи, що геометричним зображенням розв'язку лінійної нерівності з 2 змінними a1x1+a2x2<=b є півплощина з граничною прямою, рівняння якої a1x1+a2x2=b, К є переріз усіх півплощин. Складніше побудувати К у 3-вимірному просторі та неможливо в просторі більшої розмірності. Тому можна зробити висновок, що графоаналітичний метод застосов-ся в основному для розв’язування ЗЛП з 2 змінними та деяких ЗЛП з 3 змінними. Тому він є ілюстративним, тобто ілюструє властивості множини планів і розв’язків ЗЛП і неприйнятний для розв’язування практичних задач. 1) Спосіб повного перебору. Етапи: 1. Побудова К і його оцінка: а) якщо К – порожня множина, розв'язку немає; б) якщо К – опукла многогранна область, метод неприйнятний; в) якщо К – опуклий многокутник, переходять до етапу 2. 2. Визначення координат кутових точок К. 3. Обчислення значень Ц.Ф. в кожній кутовій точці і визначення точок екстремуму: а) якщо потрібного екстремуму досягнуто в одній кутовій точці, то розв'язок ЗЛП єдиний і координати цієї кутової точки – оптимальний план; б) якщо потрібного екстремуму досягнуто в 2 кутових точках, то ЗЛП має незліченну множину розв’язків, якими є координати будь-якої точки відрізка, що з’єднує ці кутові точки. 2) Спосіб напрямленого перебору: в кожній точці області визначення функції, в якій існують похідні, можна знайти вектор-градієнт. Етапи розвяз-ня град. способом: 1. Побудова К і його оцінка: а) якщо К – порожня множина, розв'язку немає; б) якщо К – не порожня множина, перехід до етапу 2. 2. Побудова gradZ, тобто N(c1;c2) –вектор. 3. Побудова лінії рівня, що має спільні точки з К. 4. Переміщення лінії рівня в напрямі gradZ, якщо розвяз-ся задача на макс. Ц.Ф., та в протилежному, якщо розв-ся задача на мін. Ц.Ф., доти, доки вона не стане опорною для К. Можливі 3 випадки: а) опорна пряма з К має спільну точку, тоді розв'язок ЗЛП – координати цієї точки; б) опорна пряма з К має спільний відрізок або спільний промінь, тоді розв'язок ЗЛП – координати будь-якої точки цього відрізка або променя – ЗЛП має незліченну множину розв’язків; в) пряма не може стати опорною для К, тобто завжди перетинає К, тоді ЗЛП не має розв'язку – Ц.Ф. необмежена на К.
Градієнтом функції U(x,y) у точці M наз-ся вектор, проекціями якого на осі координат є значення частинних похідних у цій точці; він позначається gradMU(вект.).
Лінія рівня функції U(x,y) – сукупність точок області визначення цієї функції, в яких вона набуває того самого значення, тобто U(x,y)=С.
Пряма наз-ся опорною прямою до множини G належ. E2, якщо вона з цією множиною має хоча б одну спільну точку й усі точки G лежать по один бік від неї.
Created
by