Алгебра и теория чисел

1. Основные алгебраические структуры (аддитивная и мультипликативная группы, кольца, поля: определения и примеры).

ОПР. Непустое множ-во с бинарной алг. операцией “*” наз. группой, если:

1. операция “*” ассоциативна

2. в существует нейтральный элемент относ. операции “*”

3. для каждого элемента множества в этом же множестве существует симметричный элемент.

ПР. Z группа относительно сложения, но не умножения.

ОПР. Непустое множ-во с бинарной алг. операцией умножения наз. мультипликативной группой, если:

1. операция умножения ассоциативна, для любого

2. в существует единичный элемент, т.е.

3. для любого существует обратный ему элемент, т.е.

ПР. мультиплик. абелевы группы, не мультиплик. абелевы группы

ОПР. Непустое множ-во с бинарной алг. операцией сложения наз. аддитивной группой, если:

1. операция сложения ассоциативна для любого

2. в существует единичный элемент 0, что для любого

3. для любого существует противоположный элемент, т.е.

ПР. N не явл. аддитивной группой, Z,Q,R аддитивные абелевы группы

ОПР. Кольцом наз. Непустое множество К с двумя бинарными алг. операциями сложен. и умножен. удовл. услов:

1. К аддитивная абелева группа

2. К мультипликат. полугруппа

3. операции “+” и “·” связаны з-м дистрибутивности, т.е. для любого

ПР. (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·) коммутативные кольца с единицей

ОПР. Полем наз. Непустое множество Р с двумя бинарными алгебраическими операциями сложен. и умножен, что:

1. Р аддитивная абелева группа

2. Р мультипликат. абелева группа

3. “+” и “·” связаны з-м дистрибутивности.

ПР. умнож: сложен: - поле, Поле компл. чисел.

2. Делимость в кольце целых чисел (определение делимости; теорема о делении с остатком; алгоритм Евклида; нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел с помощью алгоритма Евклида; связь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел; разложение натурального числа на простые множители и его единственность (основная теорема арифметики)).

Делимость в кольце целых чисел. Целое число b делит целое число a, если существует q такое, что a = bq. b – делитель числа a, a – кратно числу b, q –частное.

В этом случае говорят, что , a делится на b (a : b), либо b делит a (b | a).

Лемма 1:Для любых a, b, c справедливы следующие свойства:

1) Если a  0, то a | a.

2) Если a | b, b | c., то a | c.

3) Если a | b, то a | -b, -a | b, -a | -b, |a| | |b| (|a| - модуль числа a).

4) Если a | b и a | c, то для любых u и v  Z  a | (bu+cv).

5) Если a  0, то a | 0.

6) 1 | a.

7) Если a | b и b  0, то |a|  |b|

Деление с остатком. Опр: Разделить число а на число b  0 с остатком означает найти два таких числа q и r, чтобы выполнялось a = bq + r, r  0, r < |b|, где q – неполное частное, r – остаток от деления. r = 0  b | a .

Теорема 1.Для любого числа а и любого числа b  0 существуют и притом единственные числа q и r такие, что a = bq + r, 0  r < |b|

Док-во:1) Существование:

1. Пусть b > 0. Составим числа кратные b и расположим их в порядке возрастания. …< -2b < -b < 0 < b < 2b < 3b <…. существует такое число q, что bq  a < b(q+1)

0  a - bq < b, т.е. r = a – bq, a = bq + r, где 0  r < b = |b|

2. Пусть b < 0, то - b > 0. Для числа a и (- b) из пункта (а) следует, что существуют числа q и r  Z такие, что a = -bq + r, 0  r < |-b|, тогда a = b(-q) + r, 0  r < |-b| = |b|,

2) Единственность: Предположим,что числа q и r не единственные, т.е.

a = bq₁ + r₁ = bq₂ + r₂, т.е. b(q₁ – q₂) = r₂ - r₁  b | (r₂ - r₁).

Возможно: а) r₂ - r₁ = 0  r₂ = r₁  q₁ – q₂ = 0  q₁ = q_2.

2. r₂ - r₁  0  по лемме 1 |b|  | r₂ - r₁| (1)

Т.к. r₂ и r₁ – остатки, то 0  r₁ < |b|, 0  r₂ < |b|  | r₂ - r₁| < |b| (2)

Имеем: (1) противоречит (2). Полученное противоречие говорит о том, что такого случая быть не может. Значит r₂ = r₁ и q₁ = q₂.

НОД:Всякое целое число, которое делит числа a и b называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим делителем НОД(a,b).

Cвойства НОД:

1. НОД(a,b) > 0 2)НОД(a,0) = |a| 3)НОД(0,0) не существует 4)НОД(a,b) = НОД(-a,-b)  при рассмотрении НОД(a,b) мы можем брать неотрицательные числа a и b.

Лемма 2.Если a | b, то НОД(a,b) = |a|.

Док-во:Если c | a, то по лемме 1 с | b  любой делитель числа а является делителем числа b, поэтому все делители числа а составляют множество общих делителей a и b, тогда самый большой делитель = |a|.

Лемма 3. Для любых целых чисел a, b, c  0, для которых выполняется a = bq + c справедливо НОД(a,b) = НОД(b,c).

Док-во:Пусть m – общий делитель чисел a и b  m | a, m | b  по лемме 1 m | (a-bq),

a-bq = c  m | c  m общий делитель чисел b и с. Пусть m – общий делитель чисел b и с.  m | b и m | с  m | (bq+с),  m | a  m - общий делитель a и b. Таким образом множество общих делителей a и b совподает с множеством общих делителей с и b  наибольший элемент множества совподает с НОД(a,b) и НОД(b,c), поэтому НОД(a,b) = НОД(b,c).

Алгоритм Евклида и его приложения.

Пусть a, b  Z, b  0, тогда: если b | a, то НОД(a,b) = |b|.

Пусть b не делит a, тогда a = bq₁ + r₁, 0 < r₁ < |b|,

b = r₁q₂ + r₂, 0 < r₂ < r₁,

r₁ = r₂q₃ + r₃, 0 < r₃ < r₂,

…………………………..

r_n-2 = r_n-1q_n + r_n, 0 < r_n < r_n-1,

r_n-1 = r_nq_n+1

Имеем: |b| > r₁ > r₂ >….> r_n-1. Т.к. остатки уменьшаются и ограничены снизу 0, то цепочка конечна.

Теорема 2:Пусть a, b  Z, b  0, тогда: если b | a, то НОД(a,b) = |b|, если b не делит a, то НОД(a,b) равен последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида.

Док-во: Пусть b не делит a, тогда по лемме 3

НОД(a,b) = НОД(b, r₁) = НОД(r₁, r₂) = …= НОД(r_n-2, r_n-1) = НОД(r_n-1, r_n) = r_n.

Теорема 3(о линейном выражении НОД черех исходные числа): Пусть a, b  Z, a  0, b  0.

Пусть cуществует НОД(a,b), тогда cуществуют целые числа u и v такие, что НОД(a,b) = ua + vb.

Док-во: Пусть m = НОД(a,b)

1) Пусть a = 0  b  0, тогда НОД(a,b) = НОД(0,b) = b = 0a + 1b.

2) Пусть b = 0  a  0, тогда НОД(a,b) = НОД(a,0) = a = 1a + 0b.

3) Пусть a  0, b  0. Т.е. a > 0, b > 0.

Дальнейшее доказательство проведем методом мат.индукции по числу строк в алгоритме Евклида.Пусть в алгоритме Евклида одна строка, тогда a = bq₁  НОД(a,b) = b = 0a + 1b. Утверждение выполняется. Предположим, что утверждение верно для любых целых чисел, у которых в алгоритме Евклида  n строк. Докажем, что утверждение верно при количестве строк = n+1. Будем рассматривать алгоритм без первой строки. Оставшиеся n строк являются алгоритмом Евклида для чисел b и r₁. Т.к. в этом алгоритме n строк, то утверждение для b и r₁ верно.  cуществуют целые числа u₁ и v₁ такие, что НОД(b,r₁) = u₁r₁ + v₁b.

НОД(b,r₁) = r_n = НОД(a,b) = u₁r₁ + v₁b = u₁(a - bq₁) + v₁b = u₁a - u₁q₁b + v₁b

= u₁a + (u₁q₁ - v1)b = ua + vb. Cогласно принципа мат.индукции утверждение теоремы верно для целых чисел с любым числом строк в алгоритме Евклида.

Взаимно простые числа.

Два целых числа называют взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Лемма 4. Если a | bc и НОД(a,b) =1, то a | c.

Док-во: Т.к. НОД(a,b) =1, то по теореме 3 то по теореме 3 cуществуют целые числа u и v такие, что 1 = ua + vb. Умножим на с: c = uac + vbc.

uac : a (uac делится на а) и vbc : a (uac делится на а). Т.к. a | bc  по лемме 1 c : a или a | c.

Теорема 4. Целые числа a и b взаимно просты  когда существуют целые числа u и v такие, что 1 = ua + vb.

Док-во: 1)Пусть a и b взаимно просты  НОД(a,b) =1  по теореме 3 существуют целые

числа u и v такие, что 1 = ua + vb.2)Пусть существуют целые числа u и v такие, что 1 = ua + vb. Пусть НОД(a,b) = с  с | a и c | b  по лемме 3 с | (a + vb) = c | 1  c = 1

НОК. Если с Z, с делится на а и с делится на b, то с – общее кратное чисел а и b. Наименьшее положительное число в множестве общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным чисел а и b. НОК(0,b) не существует.

Теорема 5(связь НОК и НОД) Для любых a , b > 0, a , b  Z верно: ab = НОД(a,b)НОК(a,b)

Док-во: Пусть с = НОД(a,b)  с | a и a = ca₁, c | b и b = cb₁  НОД(a₁,b₁) = 1.

m – общее кратное  a | m и b | m, тогда m = ак = сa₁к  b | сa₁к  cb₁ | сa₁к 

b₁ | a₁к  по лемме 4 b₁ | к  к = b₁l, l Z  m = ca₁b₁l. Т.к. в последнем произведении может менятся только l, то m будет НОК, если l = 1. НОК(a,b) = ca₁b₁l = (ca₁сb₁) / c = ab / c = ab / НОД(a,b)  ab = НОД(a,b)НОК(a,b)

Простые числа. Целое число p >1 называется простым, если оно не имеет других положительных делителей, кроме 1 и p. Все целые числа >1 отличные от простых чисел наз составными.

Лемма 5. Всякое натуральное число n > 1 делится хотя бы на одно простое число.

Теорема 6(Евклида). Множество всех простых чисел бесконечно.

Док-во: От противного: пусть p₁, p₂,…, p_k.- все простые числа, тогда Рассмотрим

q = 1 + p₁p₂…p_k q > p_i для любого i = 1, 2, .., k. q – составное, по лемме 5 число q делится хотя бы на одно простое число, например p₁ , p₁ | q, p₁ | q и p₁ | p₁p₂…p_k тогда p₁ | (q - p₁p₂…p_k), т.е. p₁ | 1  p₁ = 1. Противоречие.

Лемма 6. Если n  N, p – простое, то либо р делит n, либо р и n взаимно просты.

Лемма 7. Если произведщение нескольких натуральных чисел делится на простое число, то хотя бы один из множителей делится на это простое число.

Теорема 7.Всякое натуральное число >1 либо является простым, либо представимо в виде произведения простых единственным образом

Каноническое разложение числа. Пусть в разложении а  Z в произведении простых множителей число р₁ встречается ₁ раз, р₂ встречается ₂ раз,…,р_n встречается _n раз, тогда

Теорема 8: Пусть . Тогда Где _i = min{_i,_i} i =1, 2, … n

Где _i = max{_i,_i} i =1, 2, … n.