Касательная к окружности
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.
1. Угол ACO равен 28°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол САО — прямой. Из треугольника АСО получим, что угол АОС равен 62 градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги АВ — тоже 62 градуса.
Ответ: 62.
2. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах.
Это чуть более сложная задача. Центральный угол АОD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол АОС равен 180° - 116° = 64°. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол ОАС — прямой. Тогда угол АСО равен 90° - 64° = 26°.
Ответ: 26.
3. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Проведем радиус ОВ в точку касания, а также радиус ОА. Угол ОВС равен 90°. Треугольник ВОА — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол ОВА равен 44 градуса, и тогда угол СВА равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги АВ.
Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
4. Через концы A, B дуги окружности в 62° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрите четырехугольник ОВСА. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°. Углы ОВА и ОВС и ОАС — прямые, угол ВОА равен 62°, значит, угол АСВ равен 28 градусов.
Ответ: 28.
5. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности: Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника АВС складывается из периметров отсеченных треугольников.
Ответ: 24.
Все эти задачи встречаются в Банке заданий ФИПИ под номером В6. А вот одна из сложных задач В3:
6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке. Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку О — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку О с вершинами А, В, С, D, E. Получились треугольники АОВ, ВОС, СОD, DOE и ЕОА. Очевидно, что площадь многоугольника S = SАОВ + SВОС + SСОD + SDOE + SЕОА. Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?
Ответ: 1.
EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Вписанные и описанные треугольники