3 Метод сіток

РОЗВ'ЯЗКУ початково-крайових задач

для РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ

3.1 Постановка задачі

Розглянемо розв'язок змішаної крайової задачі для диференційних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП):

, , (3.1)

с початковою умовою:

,

і граничними умовами:

, , .

Розглянуте рівняння описує розподіл температури в стрижні, початкова температура якого дорівнює значенню функції . Температура на лівому кінці стрижня змінюється за законом , на правому кінці стрижня відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, температура якого визначається функцією .

Для розв'язку задачі методом кінцевих різниць побудуємо прямокутну сітку (рис. 3.1), вузли якої визначаються формулами:

, , , .

Значення на лівій і нижній сторонах сітки відомі з початкових і граничних умов. На правій границі відоме значення частинної похідної розв'язку рівняння по змінній .

Замінимо частинні похідні в рівнянні теплопровідності їх кінцево-різницевими апроксимаціями в кожному внутрішньому вузлі:

, (3.2)

(3.3)

Р исунок 3.1 – Просторово - часова сітка й шаблони, що використовуються для розв'язку рівнянь параболічного типу

Вираз (3.2) можна вважати наближенням похідної як у точці так і в точці порядку .

Вираз (3.3) апроксимує похідну з порядком . Таким чином, порядок апроксимації диференційного рівняння

Для розв'язку змішаної крайової задачі необхідно апроксимувати похідну в граничній умові на правому кінці:

.

Використовуючи кінцево-різницеву апроксимацію, одержуємо:

(3.4).

Порядок апроксимації останньої формули .

3.2 Явна різницева схема

Підставимо вирази (3.2) і (3.3) у рівняння (3.1) і розв'яжемо його щодо значень функції на верхньому часовому шарі:

. (3.5)

Формула (3.5) вирішує поставлену задачу, оскільки вона виражає розв'язок у цей момент часу через розв'язок у попередній момент часу.

З (3.4) знаходимо: . (3.6)

Алгоритм обчислень за явною схемою реалізується наступною послідовністю дій.

1. Обчислюємо значення сіткової функції на першому часовому шарі з початкових умов: .

2. Знаходимо розв'язок на сітковому шарі , використовуючи явну формулу:

, , .**

3. Обчислюємо величину за формулою (5.6) .

Завершивши кроки 1-3 одержуємо розв'язок при . Для одержання розв'язку при повторюють кроки 2,3, піднімаючись щораз на один рядок нагору, тобто збільшивши на одиницю й використовуючи з попереднього рядка.

Явна схема відповідає верхньому шаблону, наведеному на рисунку 3.1.

Недолік явної схеми: якщо крок за часом виявляється досить великим у порівнянні із кроком по , то погрішності обчислень можуть стати настільки великими, що отриманий розв'язок втрачає сенс, тобто розв'язок стає нестійким. Для стійкості явної схеми повинна виконуватися умова

,

яка накладає досить жорсткі обмеження на крок за часом ( ) і веде до значного збільшення часу рахунку. Така схема називається умовно стійкою.

Приклад 3.1. Обчислити за допомогою явної схеми наближ

ений розв'язок змішаної задачі

, , ,

с початковою умовою й граничними умовами .

Розв'язок. Формула (5.5) з урахуванням кроків по - і по - після перетворень прийме вигляд:

.

Схема стійка, якщо . Перевіримо: , тобто обрана різницева схема є стійкою.

Рисунок 3.2 – Просторово - часова сітка для прикладу 3.1

З початкових умов одержимо:

, , , , , ;

із граничних умов одержимо

, ; , ; , .

Підрахуємо значення для :

;

Аналогічно обчислюємо для інших значень .

Графіки розв'язку для чотирьох моментів часу наведені на рис. 5.3. Початковий розподіл температури позначений на графіку точками.

**

Рисунок 3.3 – Графіки розв'язку прикладу 3.1.