2.4 Погрішність вирішення й збіжність

Як відомо, збіжність вирішення задач, отриманих сітковими різницевими методами, визначається формулою:

Збіжність = Апроксимація + Стійкість.

Як було показано вище, крайова задача апроксимується різницевою схемою із другим порядком щодо кроків сітки. Стійкість різницевої схеми для рівнянь еліптичного типу випливає із принципу максимуму, який виконується при певних обмеженнях на коефіцієнти рівняння [1]. Отже, система лінійних алгебраїчних рівнянь, отримана при апроксимації крайової задачі різницевою задачею, буде мати єдиний розв'язок. І при зменшенні кроку сітки цей розв'язок буде прагнути до точного розв'язку крайової задачі.

Практична оцінка погрішності розв'язку крайової задачі може бути отримана за правилом Рунге.

Нехай у загальному випадку є формула для обчислення за значеннями на рівномірній сітці із кроком , а залишковий член цієї формули має таку структуру:

.

Проведемо тепер розрахунок по тій же наближеній формулі для тієї ж точки , але використовуючи рівномірну сітку з іншим кроком . Тоді одержимо:

.

Ясно, що .

Віднімаємо ці дві формули й одержуємо першу формулу Рунге:

(2.7)

Таким чином, розрахунок по другій сітці дозволяє оцінити погрішність на першій сітці. Підставляючи знайдену погрішність у вхідну формулу, одержуємо результат з більш високою точністю по другій формулі Рунге:

(2.8)

Застосовуючи наведені формули до розв'язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток, бачимо, що необхідно розв'язати задачу двічі – використовуючи сітку із кроком , а потім, використовуючи сітку із кроком в 2 рази менше (помітимо, що точок сітки стане в 4 рази більше). Порядок апроксимації , отже, у знаменнику дроби (2.7) буде число 3. У чисельник підставляємо значення модуля різниці розв'язків, що отримані у відповідних точках при розрахунку з різними кроками.

2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці

Задача 2.1. Розв'язати рівняння в області із граничними умовами .

2.6. Завдання до лабораторної роботи

Завдання 2.1. Розв'язати задачу Діріхле для рівняння Лапласа у квадраті з вершинами , , , з граничними умовами, наведеними в таблиці 2.2. Обрати сітку з кількістю точок розбивки по кожній зі змінних. Знайти наближене вирішення задачі із заданою точністю розв'язку системи алгебраїчних рівнянь .

Завдання 2.2. Виконати завдання 2.1 для .

Завдання 2.3. Оцінити погрішність вирішення задачі для обраних сіток, використовуючи правило Рунге.

Таблиця 2.2. Варіанти індивідуальних завдань

Номер варіанта
1		0	0	0
2	0		0	0
3		0	0	0
4		20		0
5	0		0
6		0		0
7	0	0	0
8		0	0
9		40	40y	0
10		0		0
11		20		0
12		0		0
13		0
14	0		0
15				0
16		0	30	30
17		0	0	0
18	0		0	0
19		20		0
20		0	0	0

2.7. Контрольні запитання

1. Які види сіток використовуються в методі кінцевих різниць? Яким чином будують на цих сітках різницеві апроксимації рівнянь і відповідні їм шаблони?

2. Які прямі й ітераційні методи використовують для розв'язку систем алгебраїчних рівнянь у задачах з диференційними рівняннями із частинними похідними (ДРЧП)?

3. Дайте характеристику ітераційних методів, що використовуються для розв'язку систем алгебраїчних рівнянь у задачах з ДРЧП.

4. Як задаються граничні умови? Яким чином задається початкове наближення при вирішенні ДРЧП із використанням ітераційних методів? Відповідь поясніть на прикладі.

5. З яких міркувань вибирають крок сітки в методі кінцевих різниць?

6. Яким чином можна оцінити погрішність результату чисельного вирішення ДРЧП?