Лабораторная работа № 6 Исследование влияния доверительной вероятности и числа измерений на результаты измерений

Цель: исследовать изменение результата измерений, в зависимости от доверительной вероятности и доверительного интервала.

Общие сведения

Доверительный интервал - интервал значений рассчитываемого коэффициента, в который должно попасть это значение для генеральной совокупности.

Доверительная вероятность – вероятность того, что значение рассчитываемого коэффициента для генеральной совокупности попадет в доверительный интервал. Чем больше доверительная вероятность, тем больше доверительный интервал.

Неизбежный разброс выборочных средних вокруг генеральной средней (т.е. стандартное отклонение выборочных средних) называется стандартной ошибкой выборки , которая выражается формулой ( - среднеквадратичное отклонение, n - объем выборки). Стандартная ошибка выборки тем меньше, чем меньше величина  (которая характеризует разброс значений признака) и чем больше объем выборки n.

Если выборочный метод используется для работы с неколичественными данными, то роль среднего арифметического значения в совокупности играет доля или частота q признака. Доля вычисляется как отношение числа объектов, обладающих данным признаком (n_o) к числу объектов во всей совокупности: .

Роль меры разброса играет величина .

В этом случае стандартная ошибка выборки  вычисляется по формуле

. (6.1)

Точность и надежность оценки параметров генеральной совокупности по выборке находятся в обратной зависимости: чем больше точность (т.е. чем меньше предельная ошибка и чем уже доверительный интервал), тем меньше надежность такой оценки (степень уверенности). И наоборот - чем ниже точность оценки, тем выше ее надежность. Часто доверительный интервал строят для надежности 95%, соответственно предельная ошибка выборки обычно равна удвоенной средней ошибке ..

Критерий для разности средних значений

Часто возникает задача сравнения двух выборочных средних с целью проверки гипотезы о том, что эти выборки получены из одной и той же генеральной совокупности, а реальные расхождения в значениях выборочных средних объясняются случайностями выборок.

Испытуемую гипотезу можно сформулировать следующим образом: различие между выборочными средними случайно, т.е. генеральные средние в обоих случаях равны. В качестве статистической характеристики снова используется величина t, представляющая собой разность выборочных средних, деленную на усредненную стандартную ошибку среднего по обеим выборкам.

Фактическое значение статистической характеристики сравнивается с критическим значением, соответствующим выбранному уровню значимости. Если фактическое значение больше, чем критическое, испытуемая гипотеза отклоняется, т.е. различие между средними считается значимым (существенным).

Порядок выполнения работы

Для того чтобы понять как доверительная вероятность и количество измерений влияет на результат, проведем несколько экспериментов:

- необходимо сделать измерений одной и той же величины 5 раз;

- необходимо сделать измерений одной и той же величины 10 раз;

- необходимо сделать измерений одной и той же величины 20 раз.

Для n - измерений величины х

Таблица 6.1 – Таблица для занесения данных расчётов и измерений

№ п/п	хi	Δi = xi - xср	Δi2=(х-хср)2
1	х1
2	х2
3	х3
…	…	…	…
n	xn
	∑xn		∑Δ2

Необходимо определить среднее арифметическое значение результатов n - измерений по формуле: ,

где - сумма результатов n - измерений.

Далее необходимо определить случайные погрешности Δ результатов ряда n – измерений: Δ₁=X₁-X_cp, Δ₂=X₂-X_cp,…Δ_n=X_n-X_cp . Результаты занести в таблицу 6.2.

Находим квадратичные значения случайных погрешностей Δ². После чего суммируем все полученные значения Δ² и получаем ∑Δ².

Среднеквадратичное отклонение результата измерения определяется через случайные погрешности результатов ряда измерений по формуле:

. (6.2)

Таблица 6.2 – значений х, Δ, Δ² (n = 20,10,5)

i	xi	xi - xср.	(xi - xср.)2	i	xi	xi - xср.	(xi - xср.)2	i	xi	xi - xср.	(xi - xср.)2
1				2				1
2				4				5
3				6				10
4				8				15
5				10				20
6				12				Итог
7				14
8				16
9				18
10				20
11				Итог
12
13
14
15
16
17
18
19
20
∑Итог

Статистическая обработка результатов измерений

2.1. Определение основных статистических характеристик выборки при n = 20.

2.1.1. Размах

2.1.2. Среднее арифметическое значение

2.1.3. Среднее квадратичное отклонение

2.1.4. Дисперсия D = σ²

2.1.5. Коэффициент вариации

_{> 0,15} – неоднородная выборка

6.3 – Таблица результатов обработки

n	R	xср	σ	D	Kb
20
10
5

2.2 Определение абсолютной и относительной погрешностей выборки.

Оценка влияния числа измерений на точность определения статистических характеристик.

Таблица 6.4 – Результаты обработки чисел 20 измерений

Статистическая характеристика	Значения принимаемые за действиительные (20 измерений)	Выборка из 10-ти измерений			Выборка из 5-ти измерений
		Статистическая характеристика	Δ	δ %	Статистическая характеристика	Δ	δ %
R
xср
σ
D
Kb

Сделать вывод о том, как с увеличением числа измерений меняется точность измерений.

Построить для 5, 10 и20 измерений графики, изобразив на них (в виде гистограммы) значения х, х_ср и границами доверительного интервала.

Верхняя граница доверительного интервала _.

Нижняя граница доверительного интервала _.

3 Интервальная оценка параметров распределения.

3.1 Определить границы доверительного интервала для единичного результата измерения по формуле для количества измерений n, для всех уровней доверительной вероятности p.

, . (6.3)

Таблица 6.5 – Таблица для заполнения расчетных значений границ доверительного интервала при n = 20

p	0,689	0,85	0,9	0,95	0,98	0,997
t	1	1,44	1,65	1,96	2,33	3
xн
xв

3.2 Построить кривую _.

Таблица 6.6 – Таблица для заполнения значений функции

t	0	1	1,44	1,65	1,96	2,33	3
f(x)

3.3 Определить границы доверительного интервала для истинного значения.

Необходимо определить доверительный интервал при числе измерений n, используя коэффициенты Стьюдента, которые зависят от принятой доверительной вероятности p и числа измерений n (из таблицы Стьюдента).

Результаты измерений величины х по известному значению σ_n и выбранному коэффициенту Стьюдента t_C для доверительной вероятности p рассчитываем по формуле:

_(6.4)

Соответственно рассчитываем значение доверительных интервалов при доверительной вероятности 0,95 и при 0,99, которые приведены в таблице Стьюдента (таблица 6.10).

Рассчитать доверительные интервалы для 5, 10 и 20 измерений значений величины х.

_(6.5)

для всех уровней доверительной вероятности p.

Таблица 6.7 – Таблица коэффициентов t

p	0,9	0,95	0,98	n
t				5
				10
				20

Таблица 6.8 – Таблица интервалов

n	5	10	20	p
xср
σ
xн				0,9
xв
xн				0,95
xв
xн				0,98
xв

3.4 Графически изобразить интервалы для n = 20; 10; 5 при p = 0,9

Сделать вывод о том, как ведут себя границы доверительного интервала с увеличением количества измеренй.

3.6 Проверить выборки из 5-ти и 10-ти измерений на наличие результатов с погрешностями по методу Романовского для 3-х уровней доверительной вероятности. Определить при каком уровне доверительной вероятности появляется необходимость корректировать выборку.

_(6.6)

; . (6.7)

Для n = 10 x_ср, σ, x_max, x_min.

Для n = 5 x_ср, σ, x_max, x_min.

Таблица 6.9 – Таблица для занесения расчетных данных

p	0,9	0,95	0,98	xmax	xmin	n
tдоп	2,29	2,41	2,54			10
Δдоп
xв
xн
t	1,87	1,92	1,96			5
Δдоп
xв
xн

Таблица 6.10 – Фрагмент таблицы критических значений коэффициента Стьюдента t_С для различной доверительной вероятности p и числа количества измерений n.

n	p
	0.80	0.90	0.95	0.98	0.99	0.995	0.998	0.999
2	3.0770	6.3130	12.7060	31.820	63.656	127.656	318.306	636.619
3	1.8850	2.9200	4.3020	6.964	9.924	14.089	22.327	31.599
4	1.6377	2.35340	3.182	4.540	5.840	7.458	10.214	12.924
5	1.5332	2.13180	2.776	3.746	4.604	5.597	7.173	8.610
6	1.4759	2.01500	2.570	3.649	4.0321	4.773	5.893	6.863
7	1.4390	1.943	2.4460	3.1420	3.7070	4.316	5.2070	5.958
8	1.4149	1.8946	2.3646	2.998	3.4995	4.2293	4.785	5.4079
9	1.3968	1.8596	2.3060	2.8965	3.3554	3.832	4.5008	5.0413
10	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214	3.2498	3.6897	4.2968	4.780
11	1.3720	1.8125	2.2281	2.7638	3.1693	3.5814	4.1437	4.5869
12	1.363	1.795	2.201	2.718	3.105	3.496	4.024	4.437
13	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810	3.0845	3.4284	3.929	4.178
14	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503	3.1123	3.3725	3.852	4.220
15	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245	2.976	3.3257	3.787	4.140
16	1.3406	1.7530	2.1314	2.6025	2.9467	3.2860	3.732	4.072
17	1.3360	1.7450	2.1190	2.5830	2.9200	3.2520	3.6860	4.0150
18	1.3334	1.7396	2.1098	2.5668	2.8982	3.2224	3.6458	3.965
19	1.3304	1.7341	2.1009	2.5514	2.8784	3.1966	3.6105	3.9216
20	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395	2.8609	3.1737	3.5794	3.8834

3.7 Сделать вывод от наличии или отсутствии грубых ошибок в выборке.