Равносильные формулы:

1. аа = а аа = а

2. аb = bа аb = bа

3. а (bс) = (аb) с а (bс) = (аb) с

4. (аb) а = а (аb) а = а

5. а (bс) = (аb)  (ас) а (bс) = (аb)  (ас)

6. а1 =1 а0 = 0

7. а0 = а а1 = а

8. ¬¬а = а

9. ¬ ( аb) = ¬а¬b ¬ (аb) = ¬а¬в

10. а¬а = 1 а¬а = 0

Все они могут быть проверены построением соответствующих таблиц истинности.

Говорят, что < E₂; , , ¬ > булева алгебра.

Формулы ₣₁ и ₣₂ – эквивалентные (₣₁ ~ ₣₂) если при любых значениях переменных значение ₣₁ совпадает со значением ₣₂.

Формула называется выполнимой (опровержимой), если это такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение истина (ложь).

Формула называется тождественно истинной или тавтологией (тождественно ложной или противоречие), если эта формула принимает значение истина (ложь) при всех наборах значений переменной.

ЗАДАЧИ

1. Максимально упростите выражение, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным:

а)( Ú d) Ù (( Ù c) Ú (a Ù c) Ú ( Ù ) Ú (a Ù )) Ù(bÚ d);

б) (aÚ c) Ù ( Ú ) Ù ( Ú c) Ù ( Ú b) Ù (b Ú c);

в) (aÙ c) Ú ((bÚ ) Ù ( Ú ) Ù (d Ú c) Ù ( Ú d)) Ú (a Ù ).

2. Аналитическим способом, т.е. на основе формул взаимосвязи между логическими операциями , докажите справедливость тождества, затем с помощью диаграмм Эйлера-Венна подтвердите справедливость этого доказательства:

а) ((ab) ï(ab)) ï((c+d)(d-c)=((b®c) ®(a-c))((aïd) ï(d® ));

б) ((aÙ )¯(b-c)) Ù((aïd)-(bÙd))=((aïb) ï(a+ ))®((c+d) Ù(d®c));

в) ((a ¯ b) Ú (a + b)) - ((c - d) ¯ (c ~ d))=((c® a) Ù (c® b)) ® ((a ¯ d) Ú (b ¯ d)).

§4. Теория графов

4.1. Основные понятия

Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений (диаграммы Венна).

Все более распространенными становятся представления количественных характеристик, взаимосвязей между объектами в виде разного рода гистограмм, круговых диаграмм, по наглядным характеристикам которых можно судить о количественных соотношениях сравниваемых объектов, значительно упрощая их анализ.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы. Теория графов имеет огромные приложения, так как ее язык, с одной стороны нагляден и понятен, а с другой стороны – удобен в формальном исследовании. На языке теории графов формализуются и решаются многие задачи, в том числе задачи сетевого планирования и управления, анализа и проектирования организационных структур управления, анализа процессов функционирования и целеполагания, многие задачи принятия решений в условиях неопределенности и др.

Графическое представление в другом смысле – это описание исследуемой системы, процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности двух классов объектов: вершин и соединяющих их линий – ребер или дуг. Графы и их составляющие характеризуются определенными свойствами и набором допустимых преобразований (операций) над ними.

Графом G называется совокупность двух множеств – вершин V и ребер Е между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро ℓЕ инцидентно равно двум вершинам  и V, которое оно соединяет. При этом  (или ) и ребро ℓ называется инцидентными друг другу, а вершины  и , являющиеся для ребра ℓ концевыми точками, называются смежными (вместе V и ℓE можно записать G и ℓG).

Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление

- оно называется направленным или ориентированным (или дугой). Обозначение: граф содержащий направленные дуги – ориентированным (или орграфом), а ненаправленные – неориентированным (н-графом).

Ребра инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными или кратными, а граф – мультиграф. Ребро инциндентное одной вершине – петля. Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно, граф называется пустым если множество его вершин и ребер пустое. Граф называется псевдографом если

он содержит петли и кратные ребра, без петель и кратных ребер – полным, если каждая пара вершин соединена ребром. Дополнением графа G называется , имеющий те же вершины, и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к G чтобы получить полный граф.

Каждому неориентированному графу канонически соответствует ориентированный граф, соединяющий тоже множество вершин, в котором каждое ребро заменено двумя ориентированными ребрами, инцидентным тем же вершинам и имеющим противоположные направления.

Локальной степенью вершины V н-графа G называется количество ребер () инцидентных вершине . В н-графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер m графа, т.е. четное (дает вклад 2 в степень вершины deg ): (лемма о рукопожатиях, отсюда следует, что в н-графе число вершин нечетной степенью четно).

Рисунок 7. Виды ребер графа.

Для вершин орграфа определяются две локальных степени:

₁() – число ребер с началом в  (выходом)

₂() – количество входящих (петля дает вклад 1 в обе степени)

∑₁() = ∑₂() = m.

Графы G₁ и G₂ равны, т.е. G₁ = G₂, если их множества вершин и ребер (выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V₁ = V₂ и Е₁ = Е₂.

Рисунок 8. Пример равных графов.

Граф считается полностью заданным в строгом смысле, если нумерация его вершин и ребер зафиксирована. Графы, отличающиеся лишь нумерацией вершин и ребер, называются изоморфными.

Рисунок 9. Изоморфные графы.

Пример 1. Задать граф G₁, через множество вершин V, и ребер Е, ∆G может быть полностью определен:

• двумя множествами поименованных - V₁ = {υ₁, υ₂,…, υ_n} и Е₁ = {ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃, ℓ₄} в строгом смысле требуется установление индицированности;

• множеством ребер, каждое из которых представлено парой своих концевых вершин: Е₁ ={(υ₁, υ₄), (υ₄, υ₃), (υ₃, υ₅), (υ₅, υ₂)}.

Порядок указания вершин не важен, G₁ н-граф.

Пример 2. Определить типы и взаимоотношения графов, изображенных на рисунке 10.

Рисунок 10

G₁ – G₇ – неориентированные; G₈ – G₁₂ – ориентированные;

G₁, G₂ – полные, причем G₁ = G₂; G₇ – не полный;

G ₃ – все вершины изолированы G₄ и G₅ – дополняют друг к другу,

Е = ; G₄ =G₅ и …;

G₆ – мультиграф; G₈ – ориентированный каноничес-

G₉ и G₁₀ – не равны, отличаются ки соответствующий G₅;

ребра (1, 4) и (4, 1); G₁₁ – ориентированный мульграф;

G₁₂ – не мультиграф, а и в ориентированы различно.

Пример 3. Чему равны степени вершины (рисунок 11)

Рисунок 11.

Окружением N() вершины называется множество всех вершин  смежных с .

если deg  = 0 -  - изолированная;

если deg  = 1 -  - висячая, ребро ℓ инцидентное висячей, тоже называют висячей.