3.5. Булевы функции двух переменных
Основные булевы функции двух переменных представлены таблицей:
|
x |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
y |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
название |
обозначение |
Значения переменных |
формула |
||||
φ0 нуль (константа) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
φ1 конъюнкция |
. , &, Λ |
0 |
0 |
0 |
1 |
x&y |
|
φ2 отрицание |
¬x, , x’ |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
φ3 = x (константа) |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
x |
|
φ4 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
φ5 (x, y) = y |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
y |
|
φ6 сложение по mod2 |
+, , |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
φ7 дизъюнкция |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
xy |
|
φ8 стрелка Пирса |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
φ9 эквивалентность |
~, ≡, ↔ |
1 |
0 |
0 |
1 |
x↔y |
|
φ10 (x, y) = |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
φ11 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
y→x |
|
φ12 (x, y) = |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
φ13 импликация |
→, , |
1 |
1 |
0 |
1 |
x→y |
|
φ14 штрих Шеффера x│y |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
x│y
= |
|
φ15 единица |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
Все функции двух переменных являются комбинацией этих основных функций.
Пусть F = {f1, …, fm} – множество всех булевых функций.
Формулой над F называется выражение вида ₣ [F] = f(t1, …, tL)
где fF и ti либо переменная либо формула над F, тогда множество F называется базисом, f – главной (внешней) формулой (или операцией), ti - подформулой.
Зная таблицы истинности для функций базиса, можно вычислить таблицу истинности той функции, которую реализует данная формула.
Пример 1.F1= (xy)V((x )V( y)).
x |
|
|
|
|
xy |
F1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Если сравнить зачения функции и ее аргументов с таблицей основных функций, можно заметить, что F1 – реализует дизъюнкцию.
Пример 2. F2= (x1x2)x1
x1 |
x2 |
x1x2 |
F2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
F2 – реализует константу 1.
Пример 3. F3= ((x1x2) + x1) + x2
x1 |
x2 |
x1x2 |
(x1x2) + x1 |
F3 := ((x1x2) + x1) + x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
F3 – реализует дизъюнкцию.
Одна функция может иметь множество реализаций (над данным базисом). Формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными(F1 F2)